Лекция по ТТМС (моделирование систем)

Глава I Математическое моделирование системных элементов

Выдающийся итальянский физик и астроном, один из основателей точного естес-

твознания, Галилео Галилей (1564 - 1642гг.) говорил, что "Книга природы написана на языке математики". Почти через двести лет родоначальник немецкой классической фи-

лософии Иммануил Кант (1742 - 1804гг.) утверждал, что "Во всякой науке столько ис-

тины, сколько в ней математики". Наконец, ещё через почти сто пятьдесят лет, практи-

чески уже в наше время, немецкий математик и логик Давид Гильберт (1862 - 1943гг.) констатировал: "Математика - основа всего точного естествознания".

Приведенные высказывания великих ученых, без дополнительных комментариев, дают полное представление о роли и значении математики как в научно-теоретической, так и предметно-практической деятельности специалистов.

1.1. Три этапа математизации знаний

Современная методология науки выделяет три этапа математизации знаний: ма-

тематическая обработка эмпирических (экспериментальных) данных, моделирование и относительно полные математические теории.

Первый этап - это математическая, чаще всего именно количественная обработка эмпирических (экспериментальных) данных. Это этап выявления и выделения чисто фе-

номенологических функциональных взаимосвязей (корреляций) между входными сигна-

лами (входами µ§) и выходными реакциями (откликами µ§) на уровне целостного объекта (явления, процесса), которые наблюдают в экспериментах с объектами-оригиналами µ§. Данный этап математизации имеет место во всякой науке и может быть определён как этап первичной обработки её эмпирического материала.

Второй этап математизации знаний определим как модельный. На этом этапе не-которые объекты выделяются (рассматриваются) в качестве основных, базовых (фун-даментальных), а свойства (атрибуты), характеристики и параметры других объектов исследования объясняются и выводятся исходя из значений, определяемых первыми (назовем их оригиналами). Второй этап математизации характеризуется ломкой старых теоретических концепций, многочисленными попытками ввести новые, более глубокие и фундаментальные. Таким образом, на "модельном" этапе математизации, т.е. этапе математического моделирования, осуществляется попытка теоретического воспроизве-дения, "теоретической реконструкции" некоторого интересующего исследователя объек-та-оригинала в форме другого объекта - математической модели.

Третий этап - это этап относительно полной математической теории данного уровня организации материи в данной или рассматриваемой предметной области. Тре-

тий этап предполагает существование логически полной системы понятий и аксиомати-

ки. Математическая теория даёт методологию и язык, пригодные для описания явлений, процессов и систем различного назначения и природы. Она даёт возможность преодоле-

вать узость мышления, порождаемую специализацией.

1.2. Математическое моделирование и модель

Математическое моделирование - это теоретико-экспериментальный метод позна-

вательно-созидательной деятельности, это метод исследования и объяснения явлений, процессов и систем (объектов-оригиналов) на основе создания новых объектов - матема-

тических моделей.

Под математической моделью принято понимать совокупность соотношений (уравнений, неравенств, логических условий, операторов и т.п.), определяющих характе-

ристики состояний объекта моделирования, а через них и выходные значения - реакции

µ§, в зависимости от параметров объекта-оригинала µ§, входных воздей-

ствий µ§, начальных и граничных условий, а также времени.

Математическая модель, как правило, учитывает лишь те свойства (атрибуты) объекта-оригинала µ§, которые отражают, определяют и представляют интерес с точки зрения целей и задач конкретного исследования. Следовательно, в зависимости от целей моделирования, при рассмотрении одного и того же объекта-оригинала µ§ с различных точек зрения и в различных аспектах, последний может иметь различные математичес-

кие описания и, как следствие, быть представлен различными математическими моделя-

ми.

Принимая во внимание изложенное выше, дадим наиболее общее, но в то же время строгое конструктивное определение математической модели, сформулированное П.Дж.Коэном.

Определение 2. Математическая модель - это формальная система, представляю-

щая собой конечное собрание символов и совершенно строгих правил оперирования этими символами в совокупности с интерпретацией свойств определенного объекта некоторыми отношениями, символами или константами.

Как следует из приведенного определения, конечное собрание символов (алфавит) и совершенно строгих правил оперирования этими символами ("грамматика" и "синтак-

сис" математических выражений) приводят к формированию абстрактных математичес-

ких объектов (АМО). Только интерпретация делает этот абстрактный объект математи-

ческой моделью.

Таким образом, исходя из принципиально важ