Кинематика, динамика статика. Задачи

вправа 14.

1)Тіло масою 2 кг тягнуть гладенькою горизонтальною поверхнею за допомогою пружини, яка лежить горизонтально і під час руху видовжилась на 1 см. Жорсткість пружини 100 Н/м. З яким прискоренням рухається тіло ?
Дано:

m =2 кг

k =100 Н/м

∆l = 1см=0,01 м

Знайти : a

Рішення : На тіло діють наступні сили

- сила натяжіння пружини F₁

- сила тяжіння F₂

- сила тертя (=0, тому що поверхня гладенька за умови задачі, тобто коефіцієнт тертя дорівнює 0)

За законом Гука сила натяжіння пружини F₁ = ∆l ∙ k .

За другим законом Ньютона в проекції на горизонтальну вісь F₁ = m ∙ а

m ∙ а = ∆l ∙ k → а = ∆l ∙ k/m = 0,01∙м∙100∙Н∙м^-1 /2∙кг = 0,5∙Н/кг=0,5м/с²

Відповідь : тіло рухається з прискоренням 0,5м/с² .

2)Автомобіль масою 1000кг підчас гальмування зупиняється за 5 с під дією постійної сили, проходячи при цьому відстань 25 м. З яким прискоренням рухається автомобіль ? Яка початкова швидкість автомобіля ? Чому дорівнює сила тертя ?
Дано

m=1000∙кг

t=5∙с

s=25∙м

v₁ =0∙ м/с

a=?

v₀ =?

F=?

Рішення

При рівноприскореному русі маємо систему рівнянь:

v₁ = v₀ +a∙t

s=v₀ ∙t+a∙t² /2

0= v₀ +a∙5 ↔ v₀ =-a∙5 v₀ =-(-2)∙5 = 10∙м/с

25= v₀ ∙5+a∙5² /2 ↔ 25= -a∙5∙5+a∙5² /2 ↔ 1=-a+а/2 ↔ а=-2∙м/с²

За другим законом Ньютона сила F = m ∙ а = 1000∙кг∙-2∙м/с² =-2000∙Н

Відповідь : автомобіль рухається з прискоренням -2∙м/с² , початкова швидкість автомобіля 10∙м/с, сила тертя дорівнює -2000∙Н.

5)Під дією сталої сили 40 Н тіло рухається прямолінійно так, що залежність координати від часу описується рівнянням x= 5 + 2t - t*t( t в квадраті)(м).
З яким прискоренням рухається тіло ? Яка маса рухомого тіла ? Яку швидкість має тіло через 3 с після початку руху ?

Дано

F=-40 Н

x=5+2t-t²
t₁ =3c

a=?

m=?

v₁ =?

Рішення

За другим законом Ньютона прискорення а = F / m, а сила тіла стала за умови задачі (маса також) тому ріло рухається рівноприскорено. Рівняння рівноприскореного руху мають наступний загальний вигляд:

v₁ = v₀ +a∙t

s₁ = s₀ + v₀ ∙t+a∙t² /2

Тому s₁ = x тотожно для всіх t:

s₀ + v₀ ∙t+a∙t² /2 ≡ 5+2t-t² → s₀ =5м, v₀ =2м/с, a/2=-1 → a=-2 м/с²

За другим законом Ньютона m = F / а = -40/(-2)=20кг

v₁ = v₀ +a∙t₁ = 2-2∙3 = 2-6 = -4 м/с.

Відповідь : тіло рухається з прискоренням -2 м/с² , маса рухомого тіла 20кг, через 3с після початку руху тіло має швидкість -4 м/с.

6)Яку швидкість повинен мати автомобіль, щоб проїхати по опуклому мосту за радіусом кривини 40 м, спричинивши мінімальнудію на нього ?

Дано R=40 м.
Рішення

Прискорення тіла, яке рівномірно рухається по колу дорівнює:

а=v² /R

У верхній частині моста сила тяжіння повинна дорівнювати центробіжній силі:

mg=ma=m∙v² /R ↔ gR=v² ↔

Відповідь : автомобіль повинен мати швидкість приблизно рівну 20м/с = 72км/ч.

7)Тіло починає зісковзувати з вершини сферичної поверхні, радіус якої становить 5 м, зі швидкістю 5 м/с. З яким кутом відхилення від вершини воно відірвться від поверхні ?
Рішення : Умова відриву: центробіжна сила F₂ = F₁ проекції сили тяжіння F на радіус-вектор (див. малюнок):

F₂ = ma = m∙(v₁ ² /R)

F₁ = mg cos α

F₂ = F₁

mg cos α = m∙(v₁ ² /R) ↔ v₁ ² =Rg cos α

Додаткова умова: збереження повної енергії системою: зростання кінетичної енергії тіла дорівнює зменшенню його потенційної енергії:

Е₁ -Е₀ =∆H∙m∙g ↔ mv₁ ² /2-mv₀ ² /2 = (R-R cos α )mg ↔ v₁ ² -v₀ ² =2g(R-R cos α )