Коливання фізичного маятника

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

КОЛЕДЖ ХАРЧОВОЇ І ПЕРЕРОБНОЇ ПРОМИСЛОВОСТІ УКРАЇНИ ім. .П. Василенка (ХНТУСГ)

РЕФЕРАТ

на тему:

КОЛИВАННЯ ФІЗИЧНОГО МАЯТНИКА

Виконала: студентка групи Т-11

Машкіна Віталіна Станіславівна

Харків 2008

Трохи історії

Поняття маятника відоме людству з давніх-давен, з тих пір, як існує поняття гравітації.

Не будемо заходити глибоко в останнє поняття, оскільки, незважаючи на величезний прорив науки і технологій на рубежі ХХ-ХХІ століть, до цих пір ніхто, ні Ньютон, ні Галілей, ні вчені сучасності не дали вичерпної відповіді на питання чому існує гравітація, при наявності сотень відповідей на питання як діє гравітація.

Я теж не дам відповіді на це питання, скажу лише, що при розгляді коливань маятника зовнішніми діючими силами вважаються сила тяжіння та реакція осі підвісу.

Фізичний маятник, тобто будь-яке тверде тіло, яке має нерухому вісь обертання, був відомий ще античним будівельникам, які в ті часи почали використовувати висок для спорудження стін.

Висок нагадував математичний маятник, проте строго математичним маятником вважають так звану „матеріальну точку" (або, як її ще називають „видиме ніщо”, оскільки розміри її прямують до нуля), підвішену на невагомій та нерозтяжній нитці (тягарець виска був явно не матеріальною точкою, а його нитка мала вагу і розтягувалась).

Фізичним маятником можна вважати не лише тверде тіло неправильної форми, що має закріплену вісь обертання, а й тіла правильної форми, такі як круг, квадрат, тощо. Проте, якщо вісь обертання співпадає з центром маси твердого тіла, таке тіло не вважається фізичним маятником.

Принцип дії фізичного маятника

Як відомо, будучи виведеним з положення рівноваги, тіло здійснює крутильні коливання відносно закріпленої осі. З’ясуємо, чи будуть ці коливання гармонійними. Для цього знайдемо вираз для обертаючого моменту. При відхиленні тіла на довільний кут α (рис.1).

Рис.1. Обертаючий момент рівний (1),

де знак „мінус” вказує, що напрям моменту М протилежний напряму відхилення,

l - відстань центра тяжіння ЦТ від точки підвісу О (плече сили F ),

m - маса маятника,

g - прискорення вільного падіння біля поверхні Землі.

З рис.1 видно, що обертаючий момент у загальному випадку (за будь-яких α ) не пропорційний куту відхилення α . Тому в загальному випадку коливання фізичного маятника не будуть гармонійними. Але при малих кутах (α < 5°) можна з достатнім наближенням записати:

(2)

За цих умов обертаючий момент М пропорційний α і фізичний маятник здійснює коливання, період яких визначається рівністю:

(3)

де J - момент інерції тіла відносно осі обертання.

Рівність (3) часто використовують у техніці при дослідному визначені моменту інерції тіл за періодом їх коливань відносно заданої осі.

Диференціальне рівняння руху фізичного маятника

Розглянемо рис.2, на якому введено декартову систему координат (x , y , z ).

Рис. 2

Вважатимемо вісь z нерухомою віссю обертання. Тіло, яке обертається навколо нерухомої осі, має одну ступінь вільності, тому узагальненою координатою буде кут повороту φ .

Виведення диференціального рівняння обертального руху тіла навколо нерухомої осі детально викладено в курсах механіки, я лише наведу його вигляд:

(4)

де J_z - момент інерції тіла відносно осі обертання, М_z - головний момент сил, що діють на тіло.

Зовнішніми діючими силами є вага маятника Р та реакція вісі підвісу Х ₀ , Y ₀ . Головний момент цих сил відносно осі z визначається моментом сили Р :

(5)

де m - маса маятника, g - прискорення вільного падіння біля поверхні Землі, d - відстань центра маси маятника від початку координат.

Підставивши рівність (5) у рівність (4), дістанемо диференціальне рівняння руху фізичного маятника:

(6)

Інтегруючи рівняння (6), знайдемо закон зміни кута повороту φ зі зміною часу.

Оскільки рівняння (6) інтегрується у еліптичних функціях часу, обмежимося розглядом малих відхилень, для яких можна покласти sin φ ≈ φ (7)

Тоді рівняння (6) прийме вигляд:

(8)

в якому (9)

Таким чином, малі відхилення фізичного маятника описуються лінійним однорідним диференціальним рівнянням другого порядку з постійними коефіцієнтами відносно узагальненої координати φ .

Рівняння (8) інтегрується в елементарних функціях. Загальний його розв’язок має вигляд:

(10)

Рухи, що їх описує рівність (10) є гармонійними коливаннями . У цій рівності постійна А називається амплітудою коливань, постійна α є початковою фазою коливань, n - круговою частотою.

Константи А і α визначаються з початкових умов.

Таким чином, при малих відхиленнях фізичний маятник здійснює гармонійні коливання.

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать