Полиномы Лагерра в квантовой механике

Министерство образования Российской Федерации

Иркутский Государственный Технический Университет

Физико-технический институт

Кафедра Квантовой физики и нанотехнологий

КУРСОВАЯ РАБОТА

Тема:

Полиномы.

Полиномы Лагерра в квантовой механике

Выполнил (а) студент (ка)

2 курса, группы НТ-08,

.

Научный руководитель

.,ДФМН, профессор кафедры квантовой физики

Иркутск

2010

Содержание

Введение 3

Глава I . Ортогональные полиномы. 4

1.1. Понятие ортогональных полиномов 4

1.2. Классические ортогональные полиномы 5

1.3. Общие свойства ортогональных полиномов 7

Глава II . Полиномы Лагерра 8

Глава III . Применение полиномов Лагерра в квантовой механике 10

3.1. В радиальной части решения уравнения Шредингера для атома с одним электроном. 10

3.2. Переход в осцилляторе 12

Заключение 13

Используемая литература 14

Приложение 15

Введение

В представленной работе, я рассмотрела виды полиномов, в частности полиномы Лагерра, их основные свойства и применение в квантовой механике через математические выкладки решений уравнений Шредингера для атома водорода и гармонического осциллятора.

По своей сути полином - это алгебраическая сумма конечного числа одночленов, т.е. выражений вида Ax^k y^l ...w^m где x, y, ..., w -переменные, А (коэффициент многочлена) и k, l, ..., m (показатели степеней - целые неотрицательные числа)- постоянные. Многочлен от одного переменного x всегда можно записать в виде а₀ х_n + а₁ х_{n -1} + ... + а_{n -1} х + а_n .

К классическим ортогональным полиномам относятся полиномы Якоби, Эрмита, Лагерра

Они часто встречаются в теоретической и математической физике. Классические ортогональные полиномы удовлетворяют уравнениям вида

где - полином степени не выше 2, - полином степени не выше 1, - постоянная.

В ходе работы использовала учебник Никифорова А.Ф.,Специальные функции математической физики; Фока. Начало квантовой механики.

Глава I . Ортогональные полиномы

1.1.Понятие ортогональных полиномов

Ортогональные полиномы - системы полиномов , n = 0, 1, ..., ортогональных с весом на интервале (а, b)

где - квадрат нормы. Подобные системы возникают в различных задачах математики, физики: в теории представлений групп, в вычислит. математике, при решении задач на собственные значения в теории волн, квантовой механике и др.

Задание веса и интервала (а,b) определяет полином р_n (х), удовлетворяющий соотношению ортогональности (1) однозначно, с точностью до нормировочного множителя. Для полиномов р_n (х)справедливо след. явное выражение в виде определителя:

где А_n - нормировочная постоянная, - момент весовой функции. Из соотношений ортогональности (1) можно получить свойства Ортогональных полиномов.

1.2.Классические ортогональные полиномы.

Полиномы Якоби, Лагерра и Эрмита – полиномы типа y_n (z) являются решениями уравнения . Явные выражения для этих полиномов даются формулой Родрига , где B_n – нормировочная постоянная, а функция p(z) удовлетворяет дифференциальному уравнению .

Решая эти уравнения, получим в зависимости от степени полинома следующие возможные виды функции p(z):

где – некоторые постоянные.

В зависимости от вида функции получаются следующие системы полиномов:

1.Пусть

Тогда

Соответствующие полиномы y_n (z) при называются полиномами Якоби и обозначаются

2.Пусть Тогда

Полиномы y_n (z) при называются полиномами

Эрмита и обозначаются

3.Пусть Тогда

Полиномы y_n (z) при называются полиномами Лагерра и обозначаются :

1.3.Общие свойства ортогональных полиномов

Классические ортогональные* полиномы обладают целым рядом свойств, которые вытекают непосредственно из свойств ортогональности полиномов. Таким свойствами обладают любые полиномы на интервале (a,b) с произвольным весом p(x)>0.

1.Разложение произвольных полиномов по ортогональным. (Произвольный полином n-й степени q_n (x) можно представить в виде линейной комбинации ортогональных полиномов p_n (x))

2.Единственность системы полиномов при заданном весе.

3.Рекуррентные соотношения (для произвольных ортогональных полиномов имеет место рекуррентная формула, связывающая три последовательных полинома

где - некоторые постоянные

Глава II Полиномы Лагерра

В математике, многочлены Лагерра, названные в честь Эдмона Лагерра (1834—1886), являются каноническими решениями Уравнения Лагерра:

являющегося линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Многочлены Лагерра, обычно обозначающиеся как , являются последовательностью полиномов, которая может быть найдена по Формуле Родрига

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать