Параметричний резонанс

РЕФЕРАТ

на тему:

Параметричний резонанс

Розглянемо рух математичного маятника, точка підвісу якого z₀ коливається вертикально з частотою со і амплітудою а:z₀ = = acost. Внаслідок коливань точки підвісу система координат, початок якої збігається з точкою підвісу, неінерціальна. Тому, слід врахувати силу інерції, яка в розглядуваному випадку дорівнює

l_z = — m₀ = m² a cos t.

Потенціал цієї сили виражається формулою

U = —l_z z = —mla² cos cos,

де 8 — кут відхилення маятника від вертикалі, вибраний за уза­гальнену координату. Функція Лагранжа в цьому разі має вигляд

L = + mgl cos + mla ² cos t cos ,

а рівняння Лагранжа

Для малих коливань ( 1) це рівняння зводиться до лінійного рівняння

де = g/l.

Таким чином, коливання точки підвісу математичного маятника еквівалентне зміні з часом його параметрів:

Параметром, що залежить від часу, тут є частота

Ця залежність за певних умов, як буде показано нижче, приводить до наростання з часом амплітуди коливань, тобто до параметрич­ного резонансу або параметричної нестійкості.

Розглянемо спочатку загальний випадок, коли функція (t) в рівнянні (40.1) є довільною періодичною функцією часу

(t + Т) = (t)

з періодом Т — 2/. У зв'язку з цим можна сказати, що рівнян­ня (40.1) інваріантне відносно перетворення t→t+T. Звідси випливає, що коли (t) є розв'язком рівняння то функція (t— Т) теж має бути його розв'язком. З курсу диференціальних рівнянь відомо, що рівняння другого порядку завжди має два лі­нійно незалежні розв'язки Ql (t) і 92 (t), а будь-який інший розв'я­зок можна подати у вигляді лінійної комбінації цих двох розв'яз­ків. Зокрема,

₁ (t + T)= а_{11 1} (t) + а_{12 2} (t),

₂ (t + T) = а_{21 1} (t) + a_{22 2} (t).

Завжди можна вибрати систему лінійно незалежних розв'язків так, щоб вони були дійсними. Оскільки аргумент t функцій ₁ (t + T) і ₂ (t + T) дійсний, то ₁ (t + T) і ₂ (t + T) також будуть дійсними. Звідси випливає, що коефіцієнти а₁₁ в формулах дійсні; крім того, їхній визначник відмінний від нуля, інакше функції ₁ (t + T) і ₂ (t + T) були б лінійно залежними. Справді, якщо припустити, що визначник

то а₁₁ =, а

₁ (t + T) = ₁ (t) + а_{12 2} (t + T) =[a_{21 1} (t)+a_{22 2} (t)] = ₂ (t + T)

що означає лінійну залежність функцій ₁ (t + T) і ₂ (t + T)/ Покажемо, що завжди можна вибрати два таких лінійно неза­лежних розв'язки рівняння, що зміна їх при заміні tна t+ Т зводиться до множення на деякий сталий .множник, тобто (t + T) = . Справді, нехай ₁ (t) і ₂ (t) не мають такої властивості. Тоді помножимо першу рівність на деяку величину , а другу — на і додамо їх:

^’ (t + T)

Підберемо числа і так, щоб виконувалися різності

Це система однорідних рівнянь відносно величин і , розв'я­зок якої існує, якщо

Звідси знаходимо два, взагалі кажучи, комплексно спряжених зна­чення величини : ₁ і ₂ , кожному з яких відповідає оди:І розв'я­зок системи однорідних рівнянь. Поклавши в = ₁ , знаходимо Тоді із співвідношення

₁ ^’ (t + T)

Аналогічно для = ₂ , маємо

₂ ^’ (t + T)

Отже, завжди можна вибрати два таких лінійно незалежних розв'язки рівняння, щоб зміна їх при заміні tна t+ Т зво­дилась до множення на сталий множник:

₁ ^’ (t + T), ₂ ^’ (t + T)

Такі ж співвідношення справедливі для похідних за часом

₁ ^’ (t + T), ₂ ^’ (t + T)

Формули можна записати тотожно так:

;

Звідси випливає, що функції

П₁ (t) = ; П₂ (t) =

є періодичними з періодом Т. Отже, система лінійно незалежних розв'язків рівняння має вигляд

₁ (t + T), ₂ ^’ (t + T),

Сталі ₁ і ₂ , зв'язані між собою співвідношенням, яке можна вивести так. Помножимо рівняння, які задовольняють функції ₁ і ₂ ,

;

відповідно на ₁ і ₂ і віднімемо від першого друге. В результаті дістанемо

звідки випливає, що вираз l(t) = = constне залежить від часу. Тому l(t+ Т) = l(t). Оскільки з одного боку l (t + T) = ₁ (t +T) ₂ (t + T) = _{1 2} l(t), а з іншого — l (t+ T) = = l (t), то

_{1 2} =1

Оскільки коефіцієнти визначника а_{і j} дійсні, то величини ₁ і ₂ , або дійсні, або комплексно-спряжені. Тоді, враховуючи співвід­ношення, покладемо ₁ = е^zT , ₂ = е^{- zT} де z — комплексна число, яке можна знайти, розв'язавши рівняння.

Таким чином, використовуючи спів

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать