Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения

В.Кинетические Свойства

§ 6. Кинетическое уравнение

Носители заряда в металле или полупроводнике могут подвергаться действию внешних полей и градиентов температуры. Они также испытывают рассеяние на примесях, колебаниях решетки и т. д. Эти эффекты должны быть сбалансированы — нас интересуют такие ситуации, в которых электрон ускоряется полем, но при рассеянии теряет избыточные энергию и импульс. В этой главе мы рассмотрим «обычные» кинетические свойства, наблюдаемые при наложении постоянных полей.

Общий метод решения этой задачи основан на кинетическом уравнении, или уравнении Болъцмана. Мы рассматриваем функцию f_k (r) — локальную концентрацию носителей заряда в состоянии k в окрестности точки r. Строго говоря, эту величину можно определить только в терминах мелкозернистых распределений, средних по ансамблю, матриц плотности и т. д. Имеется обширная литература по этому вопросу, но она относится скорее к формальному аппарату квантовой статистической механики, чем к теории твердого тела.

Посмотрим теперь, какими способами функция f_k (r) может изменяться во времени. Возможны процессы трех типов:

1. Носители заряда приходят в область пространства вблизи точки r и уходят из нее. Пусть v_k — скорость носителя в состоянии k. Тогда в течение интервала времени t носители заряда в этом состоянии пройдут путь t v_k . Следовательно, на основании теоремы Лиувилля об инвариантности фазового объема системы число носителей в окрестности точки r в момент времени t равно числу их в окрестности точки r – t v_k в момент времени 0:

f_k (r, t ) = f_k (r – t v_k , 0). (35)

Это означает, что скорость изменения функции распределения из-за диффузии есть

¶f_k /¶t ]_diff = – v_k ׶f_k /¶r = – v_k ×Ñf_k . (36)

2. Внешние поля вызывают изменение волнового вектора k каждого носителя, согласно равенству

(37)

Величину можно рассматривать как «скорость» носителя заряда в k-пространстве, так что по аналогии с равенством (35) имеем

(38)

следовательно, под действием полей функция распределения меняется со скоростью

(39)

(мы использовали здесь обозначение ¶f_k /¶k для градиента в k-пространстве — оператора Ñ_k ).

3. Влияние процессов рассеяния оказывается более сложным. Мы ограничимся здесь в основном упругим рассеянием. При этом функция f_k меняется со скоростью

¶f_k /¶t ]_scatt = ∫{ f_k' (1 – f_k ) – f_k (l – f_k' )}Q(k, k') dk'. (40)

Процесс рассеяния из состояния k в состояние k' приводит к уменьшению f_k . Вероятность этого процесса зависит от величины f_k — числа носителей в состоянии k, и от разности (1 – f_{k '} ) — числа свободных мест в конечном состоянии. Имеется также обратный процесс, переход из k' в k, который ведет к увеличению функции f_k ; он пропорционален величине f_{k '} (1 – f_k ). Очевидно, надо просуммировать по всевозможным состояниям k'. Для каждой пары значений k и k' существует, однако, «собственная» вероятность перехода Q (k, k'), равная скорости перехода в случае, когда состояние k полностью заполнено, а состояние k' вакантно. Согласно принципу микроскопической обратимости, та же функция дает и скорость перехода из k' в k, поэтому под интегралом появляется общий множитель.

Кинетическое уравнение выражает следующее: для любой точки r и для любого значения k полная скорость изменения функции f_k (r) равна нулю, т. е.

¶f_k /¶t ]_scatt + ¶f_k /¶t ]_field + ¶f_k /¶t ]_diff = 0. (41)

Отметим, что здесь рассматривается стационарное, но не обязательно равновесное состояние. Для последнего функция распределения обозначается через f⁰ _k , оно осуществляется только в отсутствие полей и градиентов температуры.

Допустим, однако, что рассматриваемое стационарное распределение не слишком сильно отличается от равновесного.
Положим

g_k = f_k – f⁰ _k . (42)

где

f⁰ _k = 1/{exp[(E _k – z)/kT] + 1} (43)

Здесь нужно проявить некоторую осторожность. Именно, как определить функцию f⁰ _k в случае, когда температура зависит от координат? Будем считать, что в каждой точке можно корректно определить локальную температуру T(r), и положим

gk(r)=f_k (r) – f⁰ _k {3T(r)}. (44)

Если введение локальной температуры вызывает затруднения, можно потребовать, чтобы окончательное решение удовлетворяло какому-либо дополнительному условию, например

òg_k (r)dk = 0. (45)

Подставляя выражение (42) в кинетическое уравнение (41) и используя равенства (7.2) и (7.5), получаем

– v_k ׶f_k /¶r – e /ħ(E + 1/c[v