Спектральный анализ колебаний

Академия России

Кафедра Физики

Реферат на тему:

СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ КОЛЕБАНИЙ

Орел 2009

Содержание

Введение

Спектральный состав периодических колебаний

Анализ периодических колебаний

Частотный состав непериодического колебания

Библиографический список

Вступление

Среди разнообразных систем ортогональных функций, которые могут использоваться в качестве базисов для представления радиотехнических сигналов, исключительное место занимают гармонические функции. Их значение обусловлено рядом причин, основными из которых являются:

– гармонические сигналы инвариантны (не изменяются) относительно преобразований, осуществляемых стационарными линейными электрическими цепями. Если такая цепь возбуждена источником гармонических колебаний, то сигнал на выходе цепи остается гармоническим с той же частотой, отличаясь от входного сигнала лишь амплитудой и начальной фазой;

– техника генерирования гармонических сигналов достаточно проста.

Кроме того, известно (курс математики), что любое негармоническое колебание, удовлетворяющее определенным условиям, можно представить в виде суммы гармонических колебаний. При этом говорят, что осуществлено спектральное разложение этого сигнала, а отдельные гармонические компоненты сигнала образуют его спектр.

Спектральный состав периодических колебаний

Математической моделью процесса, повторяющегося во времени, является периодическое колебание со следующим свойством:

, n = 1, 2, …,

где Т – период колебания.

Известно, что любая периодическая функция, удовлетворяющая условиям Дирихле (интервал, на котором функция определена, может быть разбит на конечное число интервалов, в каждом из которых функция непрерывна и монотонна, и во всякой точке разрыва функции существуют переходы от одного конечного значения к другому), может быть представлена рядом Фурье. Если ряд Фурье представлен в тригонометрической форме, то его запись имеет следующий вид:

, k = 0, 1, 2, …,

где .

То есть периодическое колебание можно представить как сумму постоянной составляющей и гармонических колебаний с частотами k w₁ (гармоник), причем совокупность амплитуд гармоник называется спектром амплитуд колебания , а совокупность начальных фаз называется спектром фаз колебания .

Очень часто используют комплексную форму ряда Фурье. Для перехода к этой форме воспользуемся формулой Эйлера:

.

Тогда ряд Фурье запишется в виде

.

Отсюда легко определяются комплексные амплитуды гармоник:

.

Поскольку периодическое колебание известного периода Т полностью описывается совокупностью амплитуд и фаз своих составляющих, то задание спектра такого колебания сводится к заданию его спектров амплитуд и фаз.

Пример графического изображения спектров амплитуд и фаз некоторого периодического колебания приведен на рисунке 1.

Рис. 1. Графическое изображение спектров амплитуд и фаз колебания

Каждая частотная составляющая изображается на графике спектра одним вертикальным отрезком – спектральной линией. Длина отрезка определяет величину амплитуды или начальной фазы , а местоположение отрезка на оси частот – частоту составляющей ().

Иногда пользуются и табличным способом задания спектра (табл. 1).

Таблица 1

Частота	0
Амплитуда
Начальная фаза	–

Пример. Определить спектральный состав колебания, представляющего собой периодическую последовательность прямоугольных видеоимпульсов с известными параметрами .

Решение.

В радиотехнике отношение называют скважностью последовательности. По формуле ряда Фурье в комплексной форме находим

.

Комплексная амплитуда пропорциональна функции вида , график которой показан на рисунке 2.

Рис. 2. График функции

Амплитуды гармоник определяются как модуль :

и пропорциональны функции вида , график которой показан на рисунке 4.

Рис. 4. График функции

График спектра амплитуд при показан на рисунке 5.

Рис. 5. График спектра амплитуд

Пунктирная линия, построенная по формуле , называется огибающей спектра амплитуд, в которую вписываются амплитуды гармоник на своих частотах . Нули огибающей будут на тех частотах, на которых

(n = 1, 2, 3, …),

откуда . Постоянная составляющая определяется как .

В пределах первого лепестка огибающей спектра амплитуд () комплексная амплитуда положительна и вещественна, значит (). В области частот величина вещественна и отрицательна, значит (). Следовательно, начальные фазы гармоник изменяются на 180° при переходе через нули огибающей. График спектра фаз показан на рисунке 6.

Рис. 6. График спектра фаз

Изменение периода следования импульсов Т приводит к сгущению (при увеличении) или разряжению (при уменьшении) спектральных линий.

Изменение длительности импульсов вызывает смещение нулей огибающей на оси частот, положение же спектральных линий при этом остается без изменения. В том случае, когда скважность последовательности импульсов , последовательность обладает богатым спектром,

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать