Световод: уравнение, типы волн в световодах. Критические длины и частоты

Световод: уравнение, типы волн в световодах. Критические длины и частоты

1. Уравнение передачи по световоду

Рассмотрим волоконный световод без потерь двухслойной конструкции, приведенный на рис. 1

b n2 n1 a Рис. 1

Для описания поведения электромагнитного поля в сердечнике (0<r<a) и в оболочке (a<r<b) необходимо использовать различные функции. Исходя из физической сущности процессов, функции внутри сердечника при r=0 должны быть конечными, а в оболочке описывать спадающее поле.

Для определения основных параметров световодов (критической частоты, волнового числа, скорости передачи и др.) воспользуемся основными уравнениями электродинамики – уравнениями Максвелла, которые для диэлектрических волноводов имеют вид:

(1)

Уравнения Максвелла справедливы для любой системы координат. Для направляющих систем эти уравнения наиболее часто применяются в цилиндрической системе координат, ось Z которой совместим с оптической осью световода:

(2)

Для решения инженерных задач электродинамики необходимо знать продольные составляющие полей Е_z и H_z . Их можно получить следующим образом. Преобразуем первое из уравнений Максвелла (1) к виду

.

Тогда, используя соотношение , а также учитывая, что divH=0, получим

,

где - волновое число световода.

Поступая аналогично со вторым уравнением Максвелла (2), получим .

Отсюда следует, что продольные электромагнитные составляющие векторов E_z и H_z удовлетворяют уравнениям

Где – оператор Лапласа.

,

Тогда для продольных составляющих E_z и H_z в цилиндричееской системе координат получим дифференциальные уравнения второго порядка:

(3)

Допустим, что напряженность электромагнитного поля в направлении оси Z меняется по экспоненциальному закону, т.е. , где А – любая составляющая векторов Е или Н; j- коэффициент распространения. Тогда первая и вторая производные определятся

.

Для составляющей Е_z

.

Подставляя полученное значениe в уравнения (3), получим

Введем обозначение – поперечное волновое число световода. Тогда для сердечника световода имеем

(4)

где (без учета затухания) – поперечное волновое число сердечника; k₁ – волновое число сердечника с коэффициентом преломления n₁ , .

Решение уравнений (4) для сердечника следует выразить через цилиндрические функции первого рода – функции Бесселя, имеющие конечные значения при r=0. Поэтому можно написать

(5)

где А_n и В_n – постоянные интегрирования.

Воспользовавшись уравнениями (2), рассмотрим связь между поперечными и продольными компонентами поля. В частности, для составляющей Е_r имеем

Возьмем производную от второго выражения по

Учитывая, что , а , то

Тогда

или

Подставим данное выражение в уравнение для Е_r

или

.

Окончательно получим .

Аналогично можно установить связь между продольными и другими поперечными компонентами поля

Воспользовавшись уравнениями (5) возьмем соответствующие производные

Тогда выражения для поперечных составляющих электрического и магнитного полей в сердечнике световода, полагая, что , имеют вид (множитель не пишем):

(6)

Для оболочки имеем аналогичную систему уравнений:

где (без учета затухания) – поперечное волновое число оболочки световода; k₂ – волновое число оболочки с коэффициентом преломления n₂ , .

Для решения данных уравнений, исходя из условия, что при поле должно стремиться к нулю, следует использовать цилиндрические функции третьего рода – функции Ганкеля:

где С_n , D_n – постоянные интегрирования.

Тогда для поперечных составляющих поля в оболочке можно написать следующие выражения:

(7)

Постоянные интегрирования А_n , В_n , С_n , D_n могут быть определены на основании граничных условий. Используем условия равенства тангенциальных составляющих напряженностей электрических и магнитных полей на поверхности раздела сердечник-оболочка (при r=а):

Найдя постоянные интегрирования и подставив их в уравнения, после соответствующих преобразований получим следующее трансцендентное уравнение:

(8)

Полученные уравнения дают возможность определить неизвестные постоянные и найти структуру поля в сердечнике и оболочке волоконного световода. В общем случае уравнения имеют ряд решений, каждому из которых соответствует определенная структура поля, называемая типом волны или модой.

световод уравнение интегрирование волна

2. Типы волн в световодах

В сетоводах могут существовать два типа волн: симметричные E_0m , H_0m несимметричные дипольные EH_nm , HE_nm . В индексе n – число изменений поля по диаметру; m – число изменений поля по периметру. Симметричные волны электрические Е_0m и магнитные H_0m имеют круговую симметрию (n=0).

Раздельное распространение по световоду несимметричн

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать