Перехiднi процеси в лiнiйних електричних колах. Класичний метод аналізу перехідних процесів

Перехiднi процеси в лiнiйних електричних колах.

Класичний метод аналізу перехідних процесів

1 Основнi поняття та визначення

Стацiонарний режим (процес) характеризується тим, що струми i напруги або незмiннi у часi (кола постiйного струму), або є перiодичними функцiями часу (кола змiнного струму).

Реальнi електричнi процеси завжди вiдрiзняються вiд стацiонарних, тому що будь-яка неперiодична змiна типу дiї або змiна параметрiв кола (або вигляду схеми) викликає порушення стацiонарностi режиму.

Перехiдним зветься процес, який виникає в електричному колi при переходi вiд одного усталеного режиму до iншого. Перехiднi процеси виникають за певних умов, наприклад, при комутацiї.

Комутацiя - це змiна параметрiв або схеми кола, пiдключення або вiдключення джерела електричної енергiї. Якщо коло мiстить тiльки активнi опори, то комутацiя "миттєво" викликає вiдповiднi змiни струмiв i напруг у вiтках. За наявностi реактивних елементiв комутацiя супроводжується появою перехiдних процесiв.

Отже, умовами виникнення перехiдних процесiв є:

1) комутацiя; 2) наявнiсть у колi реактивних елементiв.

2 Закони комутацiї i початковi умови

Виникнення перехiдних процесiв пов'язано з особливостями змiнювання енергiї електромагнiтного поля у реактивних елементах. З фiзичних мiркувань зрозумiло, що енергiя поля в iндуктивностях та ємностях не може змiнюватися миттєво: енергiя може змiнюватися неперервно, без стрибкiв, тому що у протилежному випадку потужнiсть , яка дорiвнює похiднiй енергiї за часом, досягала б нескiнченного значення, що фiзично неможливо.

На підставі цього твердження формулюються закони комутацiї.

Якщо момент комутацiї розглядати як початок вiдлiку часу , то момент безпосередньо перед комутацiєю позначається , а момент безпосередньо пiсля комутацiї . Враховуючи цi позначення, можна записати:

- перший закон комутацiї;

- другий закон комутацiї.

Отже, у початковий момент пiсля комутацiї струм в iндуктивностi (напруга на ємностi) залишається саме таким, яким вiн був безпосередньо перед комутацiєю, а потiм плавно змiнюється. При цьому слiд пам'ятати, що стрибкоподiбно можуть змiнюватися струми в опорах та ємностях, а також напруги на опорах та iндуктивностях.

Значення струму в iндуктивностi та напруги на ємностi в момент комутацiї звуться незалежними початковими умовами. За нульових початкових умов, тобто коли , , iндуктивнiсть у початковий момент часу пiсля комутацiї еквiвалентна розриву кола, а ємнiсть - короткому замиканню. У випадку ненульових початкових умов, тобто коли , , iндуктивнiсть в перший момент пiсля комутацiї еквiвалентна джерелу струму , а ємнiсть - джерелу ЕРС .

Отже, залежно від моменту часу (0+ або ¥), а також від типу зовнішньої дії (постійна або синусоїдна) реактивні елементи в схемах подаються по-різному (табл.1).

Таблиця 1

Елемент
	Нульові початкові умови	Ненульові початкові умови	Постійний струм	Синусоїдний струм
L	Х.Х	К.З
C	К.З.	Х.Х

Аналізуючи перехiдні процеси у розгалужених колах, поряд з незалежними початковими умовами використовують так званi залежнi початковi умови, а саме: значення всiх струмiв i напруг, крiм , , а також їх похiднi при . Цi значення розраховуються за незалежними початковими умовами, виходячи iз законiв Кiрхгофа.

3 Класичний метод аналiзу перехiдних процесiв. Вимушений i вiльний режими

Аналiз електричних процесiв в ЛЕК, як вiдомо, базується на розв'язаннi рiвнянь Кiрхгофа для миттєвих значень напруг i струмiв в елементах кола. Цi рiвняння приводяться до лiнiйного неоднорiдного диференцiйного рiвняння з постiйними коефiцiєнтами.

У загальному виглядi процеси в ЛЕК описуються лiнiйним диференцiйним рiвнянням n-го порядку:

, (1)

де - шукана функцiя; - вiдома функцiя, яка залежить вiд зовнiшньої дiї; - постiйнi коефiцiєнти.

В математицi існують рiзнi способи розв'язання рiвняння (1). Згiдно з класичним методом розв'язок (1) слiд шукати у виглядi суми двох функцiй:

, (2)

де - загальний розв'язок (1), який характеризує електричнi явища за вiдсутнiстю зовнiшньої дiї (). Якщо , то коло знаходиться в режимi власних (вiльних) коливань. Функцiї, що визначаються за загальним розв'язком, звуться вiльними складовими (струмiв, напруг тощо). В (2) - частинний розв'язок, що характеризує вимушений режим, який обумовлений зовнiшнiм джерелом. Якщо - постiйна функцiя або перiодична за часом, то вимушений струм (напруга) буде одночасно i усталеним.

Iснує унiверсальний метод визначення вiльної складової, згiдно з яким оператор диференцiювання в (1) замiнюють алгебраїчним оператором p:

; ... ; ; .

Пiсля цiєї замiни отримуємо характеристичне рiвняння кола:

. (3)

Степiнь характеристичного полiнома визначається порядком диференцiйного рiвняння (3) i зветься порядком кола.

Розв'язуючи (3), визначають коренi характеристичного рiвняння (k =1,2,..., n). За знайденими коренями знаходять шуканий розв'язок

, (4)

де - сталi iнтегрування, якi обчислюються за початковими умовами.

Для знаходження сталих iнтегрування вираз (4), а також початко

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать