Изучение свободных колебаний и измерение ускорения свободного падения

Изучение свободных колебаний и

измерение ускорения сободного падения

Цель работы : изучение свободных колебаний математического маятника и физического маятника (оборотного маятника Кэтера) и определение ускорения свободного падения .

Оборудование : комбинированная лабораторная установка , масштабная линейка , секундомер.

1 Теоретическая часть.

1.1. Гармонические колебания и их характеристики.

Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. При колебательном движении маятника изменяется координата его центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение и ток в цепи. Физическая природа колебаний может быть разной, поэтому различают колебания механические, электромагнитные и др. Однако различные колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми уравнениями.

Колебания называются свободными или собственными, если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на систему, совершающую колебания. Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания - колебания, при которых физическая величина изменяется во времени по закону синуса или косинуса. Рассмотрение гармонических колебаний важно по двум причинам:

1) колебания, встречающиеся в природе и технике, частно имеют характер, близкий к гармоническому;

2) различные виды колебаний можно представить как наложение гармонических колебаний.

Гармонические колебания некоторой величины описываются уравнением типа

x(t)=A cos( w 0 t+ j 0 ) (1 a )

или

x(t)=A sin( w 0 t+ j 0 ), (1 б )

где x(t) - мгновенное значение колеблющейся величины в момент времени t , называемое отклонением, A - максимальное значение колеблющейся величины, называемой амплитудой колебаний, w 0-круговая (циклическая) частота свободных колебаний и j =( w 0 + j 0 ) - фаза колебаний в момент времени t, j 0 - начальная фаза колебаний. Фаза характерезует мгновенное состояние колебательной системы и определяется отклонением или смещением x и величиной времени t . Так как косинус и синус изменяются в пределах от +1 до –1, то x может принимать значения от +A до –A. Определение состояния системы, совершающей гармонические колебания, повторяются через промежуток времени T , называемый периодом колебания. За промежуток времени T фаза колебания получает приращение 2П , т.е. ( w 0 ( t+T)+ j 0 )) - (w 0 t+ j 0 ) = 2 П. Откуда

T = 2 П / w 0 .(2)

Величина, обратная периоду колебаний:

v = 1/T, (3)

определяет число колебаний, совершаемых в единицу времени, и называется частотой колебаний. Сравнивая (2)и(3), получим

w 0 = 2П v. (4)

Единица частоты – герц (Гц): 1 Гц – частота периодического процесса, при которой за 1 с совершается одно полное колебание.

Первая и вторая производные отклонения x(t) ( скорость v и ускорение a ) также изменяются по гармоническому закону :

dx/dt = v(t) =-A w 0 sin( w 0 t+ j 0 ) = Aw 0 cos( w 0 t +j 0 + p /2) (5 a )

(5 б )

т.е. имеет гармонические колебания, происходящие с той же циклической частотой. Амплитуда величин (5а) и (5б), соответственно, равны A w 0 и A w 0. Фаза колебаний ускорения (5а) отличается от фазы колебаний самой величины (1а) на П /2, а фаза колебаний ускорения (5б)- на П . Следовательно, в момент времени , когда x=0, v=dx/dt приобретает наибольшие положительное или отрицательное значения. Когда x достигает “-“ или “+” max значения, величина a=dx/dt приобретает соответственно “+” или “-“ наибольшее значение.

Из (5б) следует дифференциальное уравнение гармонических колебаний

(6)

где учтено, что x=Acos( w 0 t+ j 0 ). Решением уравнения (6) и является выражение (1).

1.2 Механические гармонические колебания

Пусть материальная точка совершает прямолинейные гармонические колебания вдоль координат X около положения равновесия, принятого за начало координат. Тогда зависимость координаты x от времени t задается ур-ем (1а):

x(t)= Acos( w 0 t+ j 0 ). Согласно выражениям (5а) и (5б) скорость v(t) и ускорени

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать