Исследование явления дисперсии электромагнитных волн в диэлектриках

Содержание.

Введение........................................................................................................................3

§ 1. Материальные уравнения электромагнитного поля в среде с дисперсией.....5

§ 2. Закон дисперсии. Вектор объемной плотности поляризации.........................10

§ 3. Зависимость показателя преломления и поглощения от частоты..................12

Заключение.................................................................................................................15

Литература..................................................................................................................16

Введение.

Важнейшей характеристикой линейной распределенной системы является закон дисперсии, который связывает волновое число и частоту монохроматической волны. Он может быть записан как , или в неявной форме .

Когда плоская волна описывается одним (вообще говоря, интегродифференциальным) уравнением, закон дисперсии получают, отыскивая его решение в виде . В простейшем случае процесс распространения волны описывается уравнением

.

При этом волновое число связано с частотой линейной зависимостью , или , где скорость распространения волны есть постоянная величина. Однако уже при учете диссипативных процессов поведение волны описывается более сложными уравнениями. Закон дисперсии также усложняется. Для звуковых волн в вязкой теплопроводящей среде и электромагнитных волн в среде с проводимостью справедливы следующие соотношения между волновым числом и частотой:

.

В более общих случаях от частоты могут сложным образом зависеть действительная и мнимая части волнового числа:

.

Действительная часть характеризует зависимость от частоты фазовой скорости распространения волны , а мнимая часть — зависимость коэффициента затухания волны от частоты.

Во многих случаях волновой процесс удобно описывать не одним уравнением типа волнового, а системой связанных интегродифференциальных уравнений . Здесь — матричный оператор, действующий на вектор-столбец .В качестве , например, для акустических волн может служить совокупность переменных (колебательная скорость, приращения плотности, давления, температуры), а для электромагнитных волн — компоненты векторов напряженностей электрического и магнитного полей, электрического смещения и магнитной индукции. В этом случае формальная схема отыскания закона дисперсии такова. Ищем решение системы в виде :

,

Решение будет нетривиальным, только если . Отсюда получаются искомые зависимости . Наличие у дисперсионного уравнения нескольких корней означает, что система может описывать несколько типов собственных волн (мод) среды.

Частотная дисперсия приводит к изменению закономерностей распространения немонохроматических волн. Действительно, различные спектральные компоненты обладают в диспергирующей среде отличающимися скоростями и коэффициентами затухания:

.

В силу дисперсии фазовой скорости в процессе распространения изменяются фазовые соотношения между спектральными компонентами. Следовательно, изменяется результат их интерференции: форма немонохроматической волны искажается. Дисперсия коэффициента поглощения приводит к трансформации частотного спектра волны и дополнительному искажению формы импульса.

§1. Материальные уравнения электромагнитного поля в среде с дисперсией.

Дисперсионные эффекты часто проявляются при распространении электромагнитных волн. Покажем, как видоизменяются исходные уравнения при учете этих свойств. Система уравнений Максвелла сохраняет свой вид. Свойства среды должны быть учтены в материальных уравнениях:

.

Для статических и медленно изменяющихся полей можно написать

,

где — константы, т. е. значения и в некоторой точке среды и в некоторый момент времени определяются значениями и в той же точке и в тот же момент времени.

При быстром изменении поля вследствие инерции внутренних движений и наличия пространственной микроструктуры среды наблюдается зависимость поляризации от поля, действующего в других точках и в другие моменты времени. При этом нужно иметь в виду, что в силу условия причинности поляризация и, следовательно, индукция зависят от полей, действовавших только в предыдущие моменты времени.

Сказанное можно записать математически, представляя материальные уравнения в общей интегральной форме:

, (1.1)

, (1.2)

. (1.3)

По дважды встречающимся индексам здесь и везде в дальнейшем предполагается суммирование.

Выражения (1.1) — (1.3) представляют собой наиболее общую функциональную форму записи материальных уравнений для линейной среды. В этой записи учтена возможность проявления нелокальности, запаздывания и анизотропных свойств среды.

В частном случае, если среда однородна в пространстве и не изменяет со временем своих свойств, материальные характеристики , , должны зависеть лишь от разностей координат и времени . Тогда

, (1.4)

, (1.5)

. (1.6)

Связь между электрическим смещением и магнитной индукцией, полями и поляризациями среды определяется соотношениями

. (1.7)

Поэтому материальные уравнения можно записать также в виде

, (1.8)