Кинематика

Кинематика

тема 1 кинематика точки

1.1 п редмет изучения

С самого рождения и на протяжении всей своей жизни мы встречаемся с движением материи. Простейшей формой движения материи является механика. В разделе «кинематика» мы будем изучать только одну сторону механического движения – геометрическую, т.е. мы будем изучать геометрию движения тела без учета его массы и сил, действующих на него. Механически движение в общем смысле будет изучаться в разделе «динамика».

Под движением в механике мы будем понимать перемещение данного тела в пространстве и времени по отношению к другим телам.

Для определения положения движущего тела вводится система отсчета, связанная с телом, условно принимаемым за неподвижное. Движение тела происходит в пространстве и времени. Мы будем рассматривать трехмерное эвклидо пространство. За единицу длины в нем принимается 1 метр. Время считается универсальным, т. е. не зависящим от выбранной системы отсчета. За единицу времени принимается 1 секунда. В задачах механики время принимается за независимую переменную. Все остальные кинематические величины (расстояния, скорости, ускорения и т.д.) являются функциями времени.

Прежде чем изучать движение его необходимо задать, т.е. описать каким-либо математическими формулами так, чтобы можно было узнать положение тела и все его кинематические характеристики в любой момент времени.

Основная задача кинематики заключается в том, чтобы по известному закону движения тела (или какой-либо его точки) найти все остальные
кинематические характеристики движения.

Изучение кинематики мы начнем с изучения движения простейшего тела – точки, т.е. такого тела, размерами которого можно пренебречь и рассматривать его как геометрическую точку.

1.2 Способы задания движения точки

Мы будем рассматривать три способа задания движения: векторный, координатный и естественный.

1.2.1 Векторный способ

Положение движущейся точки М определяется с помощью радиуса вектора , проведенного из некоторого неподвижного центра О в эту точку (рис. 1.1). В процессе движения этот вектор изменяется по величине и направлению, т.е. является функцией времени. Зависимость

(1.1)

называется уравнением движения (или законом движения) в векторной форме. Линия, описываемая концом этого вектора называется траекторией движения.

1.2.2 Координатный способ

С неподвижным центром О связывается неподвижная система координат ОХ у Z . Положение точки определяется тремя координатами: х , у , z (рис. 1.2). В процессе движения эти координаты изменяются, т.е. они являются функциями времени.

Зависимости

х=f₁ (t); у=f₂ (t); z=f₃ (t) (1.2)

называются уравнениями движения точки в координатной форме. Эти уравнения являются одновременно параметрическими уравнениями траектории движения (параметром является t ).

Чтобы получить уравнение траектории в явной форме, надо из уравнений (1.2) исключить параметр t.

1.2.3 Естественный способ

При естественном способе задания движения траектория заранее известна. На траектории выбирается начало отсчета (т. 0) и устанавливается положи-тельное и отрицательное направления отсчета.

Положение точки на траектории однозначно определяется криволинейной координатой S , измеряемой вдоль траектории. Зависимость

S = f(t) (1.3)

называется уравнением движения в естественной форме.

1.2.4 Связь между способами задания движения

Координатный векторный способы связаны зависимостью:

(1.4)

где - единичные орты координатных осей.

Переход от координатного способа к естественному:

здесь: ;

(т.е. здесь и в дальнейшем производная по времени обозначается точкой над буквой).

1.3 Определение скорости и ускорение точки при векторном задании движения

Пусть точка за время переходит из положения М в положение М₁ , двигаясь вдоль траектории (Рис. 1.4) называется вектором перемеще-ния. - средняя скорость.

Например, вектор по хорде М М₁ . если уменьшать промежуток времени , то хорда будет приближаться к касательной, а средняя скорость к мгновенной.

Рис. 1.4

(1.6)

Направлен вектор скорости по касательной к траектории.

Определение ускорения:

Пусть в положении М скорость , а в положении М₁ (через время ) скорость . Приращение скорости (рис. 1.5).

Среднее ускорение:

Ускорение в данный момент

(1.7)

Лежит вектор ускорения в плоскости, проведенных через касательной к траектории в двух бесконечно близких точках. Эта плоскость называется соприкасающейся или плоскостью главной кривизны.

1.4 Определение скорости и ускорения точки при координатном способе задания движения

при координатном способе задания движения:

(а)

с другой стороны:

(б)

Сравнивая (а) и (б) находим:

; ; (1.8)

т.е. проекция вектора скорости на оси координат равны первым производным по времени от соответствующих координат.

Величина ск

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать