Физическое описание явления фильтрации жидкости

1. Физическое описание явления фильтрации жидкости

1.1. Закон фильтрации однородной жидкости

Фильтрация представляет собой движение жидкости в пористой среде под действием перепада давления. Основной характеристикой фильтрационного движения является вектор скорости фильтрации u определяемый следующим образом. Выберем точку М пористой среды и проведем через нее элементарную площадку S . Через выделенную площадку в единицу времени протекает масса жидкости Q . Тогда проекция вектора u на нормаль к выделенной площадке равна lim Δ Q/(p S) , где p – плотность жидкости. Подчеркнем, что масса жидкости делится на полную площадь S , а не на ее часть, занятую порами.

Основное соотношение теории фильтрации - закон фильтрации - устанавливает связь между вектором скорости фильтрации и тем полем давления, которое вызывает фильтрационное движение. Некоторые сведения о законе фильтрации можно получить, исходя из самых общих представлений.

Окружим точку пористой среды некоторой малой окрестностью; поле скоростей фильтрации в этой окрестности можно считать непрерывным, а все параметры пористой среды и насыщающей ее жидкости - постоянным. Нельзя пренебречь лишь изменением давления, как бы мало оно не было, поскольку при постоянном по пространству давлении движение полностью отсутствует (по существу это утверждение является основной гипотезой). Поскольку изменение давления в окрестности данной точки определяется градиентом давления, основное предположение при установлении вида закона фильтрации состоит в том, что вектор скорости фильтрации в данной точке пористой среды определяется свойствами жидкости и пористой среды и градиентом давления grad p . Пористая среда характеризуется геометрическими параметрами - характерным размером d и некоторыми безразмерными характеристиками: пористостью m , безразмерными параметрами кривой распределения и др. Закон фильтрации должен являться следствием уравнений количества движения жидкости в поровом пространстве, поэтому в систему определяющих величин следует включить также те характеристики жидкости, которые входят в эти уравнения, т.е. плотность p и вязкостьm. Таким образом, предполагается, что существует зависимость градиента давления grad p от вектора скорости фильтрации u , геометрических характеристик пористой среды m, d и т.д. и характеристик жидкости r и m. Среди величин, от которых зависит grad p , только скорость фильтрации u является вектором. В силу изотропии среды (т.е. независимости ее свойств от вращений и отражений системы отсчета) зависимость grad p от u должна быть инвариантной относительно вращения вокруг направления вектора u .

Поэтому вектор grad p должен быть направлен по одной прямой с вектором u . В самом деле, предположим обратное, т.е. пусть вектор grad p составляет некоторый угол с направлением вектора u . Если повернуть выбранную произвольную систему координат относительно направления вектора u на некоторый угол, то ни вектор u , ни какой-либо другой из определяющих параметров не изменится. Следовательно, не должен измениться и вектор grad p , зависящий только от этих параметров. Но если grad p составляет некоторый угол с направлением вектора u , то при повороте его направление относительно координатных осей обязательно изменится. Отсюда вытекает, что вектор grad p может обращен только по направлению вектора u , так что

grad p= - си , (1)

где с - некоторая скалярная величина, зависящая от модуля вектора скорости u , а также величин d, m, p, m .

Рассмотрим сначала такие фильтрационные движения, для которых несущественны силы инерции. К числу подобных безынерционных движений принадлежит, в силу их крайней медленности, большинство фильтрационных движений, встречающихся на практике. При этом плотность р , характеризующая инерционные свойства жидкости, несущественна и исключается из числа определяющих параметров. Таким образом, при безынерционных движениях величина c зависит только от u, d, m и m. Выпишем размерности интересующих нас величин:

(2)

Из пяти величин (2) можно выбрать три с независимыми размерностями (например, u, m, и d). Тогда, согласно p - теореме, анализа размерностей искомая зависимость будет связывать две безразмерные комбинации указанных величин. В качестве одной из безразмерных величин удобно взять пористость m, в качестве другой выберем cd² /m. Таким образом, имеем

cd² /m= f (m), c=md^-2 f(m). (3)

После этого уравнение (1) может быть представлено в виде:

(4)

Это соотношение называется законом фильтрации Дарси (по имени французского ученого, установившего его экспериментально в 1856г.). Величина k=d² /f(m), вводимая уравнением (4), носит название проницаемости. Проницаемость имеет разномерность площади; она не зависит от свойств жидкости и является чисто геометрической характеристикой пористой среды.

В физической системе единиц проницаемость измеряется в см² . Однако проницаемость большинства горных пород выражается при этом весьма малыми числами. Так, проницаемость крупнозер

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать