Философские вопросы математики

Введение

Вопрос об отношении математики к реальному миру является одним из основных для объяснения природы математики как науки. Только ответив на вопрос о происхождении и содержании математических понятий и теорий, можно ставить и разрабатывать остальные философские вопросы математики. Толкование этих вопросов существенно зависит от того, истолковываются ли математические понятия и утверждения как отражение свойств объектов и процессов реального мира или же они трактуются как продукт совершенно "свободного" творчества субъекта (субъективный идеализм), либо относятся к миру "идей", имеющих якобы самостоятельное существование (объективный идеализм).

Еще древнегреческие философы дали два противоположных истолкования вопроса об отношении математики к реальному миру. Аристотель утверждал, что математические понятия являются абстракциями (отвлечения) от реальных вещей. Платон, напротив, считал, что математические понятия занимают промежуточное положение между миром чувственно воспринимаемых вещей и миром "идей" и являются лишь слабыми "тенями" последних. В дальнейшем взгляды Аристотеля и Платона неоднократно подвергались обсуждению. Но как ни подходили философы и математики к решению вопроса об отношении математики к реальности, конечным результатом их рассуждений обычно бывали следующие заключения. Материалисты доказывали, что понятия и законы математики являются копиями, отражениями, полученными в процессе абстрагирования от реальных вещей, их свойств и отношений между ними. Субъективные идеалисты утверждали, что основные понятия и законы математики являются продуктами "свободного" мышления людей. Объективные идеалисты пытались доказать, что объекты математики – самостоятельные сущности, существующие независимо от мира реальных вещей, в каком-то особом мире "идей", "идеальных объектов". [15; 8]

В течение столетий сторонники материалистического и идеалистического толкований вели борьбу. Но где и как бы ни развертывалась эта борьба, она всегда концентрировалась около вопроса об отношении математики к материальной действительности. В этой борьбе большинство ведущих математиков, как правило, отстаивало материалистическое толкование математики. Например, Леонард Эйлер, писал: "…математика является наукой, которая не только показывает в каждом случае соотношения, но и определяет причины, от которых они зависят по природе самих вещей" [21; 9]. На материалистических позициях стояли и замечательные русские математики XIX века Николай Иванович Лобачевский и Пафнутий Львович Чебышев.

Методы математики способствуют механике, астрономии, физике и другим наукам проникать в сущность законов природы и предвидеть то, что еще осталось за границами знания. Например, законы механики и методы математики помогли У.Леверрье и Д.Адамсу (XIX в.), а потом и П.Ловеллу (ХХ в.) теоретически установить существование двух новых, расположенных за Сатурном, планет – Нептуна и Плутона, после чего их существование было подтверждено астрономическими наблюдениями. Методы математической физики привели К.Максвелла к заключению о наличии давления света, после чего П.Н.Лебедев подтвердил прогноз К.Максвелла рядом точных экспериментов. Учение о различных видах геометрических пространств (аффинном, конечномерным метрических пространствах, гильбертове пространстве) находит применение в электродинамике и теоретической электротехнике. В то же время математика не только помогает решению отдельных вопросов естествознания, но и способствует формированию и развитию новых теорий. Математика помогла физикам установить основные уравнения квантовой механики; после этого был раскрыт их физический смысл.

1. Математика и действительность как основной философский вопрос математики.

Центральной в философских вопросах математики является проблема соотношения весьма абстрактных математических конструкций и реальной действительности. Н.Бурбаки пишет, что "основная проблема состоит во взаимоотношении мира экспериментального и мира математического" [2; 258]. Хотя А.Нысанбаев и Г.Шляхин в своей книге "Развитие познания и математика" отмечают, что "сам автор отказывается всерьез обсуждать эту проблему, но не потому, что он стремится соблюсти "нейтральность" при рассмотрении основного философского вопроса математики, а потому, что он выступает как математик, понимающий всю сложность философских проблем и не решающийся обсуждать их "из-за отсутствия компетентности" [16; 53]. Из этих слов можно сделать вывод, что основной философский вопрос математики далеко не легок в своем разрешении. И этот вывод очень хорошо подчеркивает Т.И.Ойзерман: "Многие философские проблемы, в отличие от проблем, возникающих перед естествознанием, являются вечными в том смысле, что они всегда сохраняют свое значение для человечества" [17; 217].

Получая свое определенное решение в каждую историческую эпоху, это вопрос вновь и вновь возникает перед философами в новой форме, обусловленной уровнем достигнутых знаний и характером социальных преобразований. Этот вопрос никогда не станет окончательно завершенным, не подлежащим дальнейшему изменению, развитию.

В настоящее время основной вопрос философии по отношению к математике сместился в план соотношения действительности и языка. "Считать ли математику наукой, изучающей определенные отношения действительности, или же утверждать, что она имеет