Апология Бесконечности в связи с парадоксом "Лжец"

Апология Бесконечности в связи с парадоксом "Лжец"

Станишевский Олег Борисович

В нашей "Апологии бесконечности" [1] было показано, что отвергать актуальную бесконечность и канторовскую теорию множеств на том основании, что и диагональный метод доказательства существования бесконечных множеств, больших по своей мощности, чем счетное множество натуральных чисел, и само счетное множество как начальная актуальная бесконечность являются противоречивыми, – занятие несостоятельное и бесперспективное. Во-первых, – это чистейший агностицизм, а во-вторых, противоречия канторовской теории множеств устранимы и условиями их устранения является строгое соблюдение законов и принципов классической логики, как в конечном, так и в бесконечном. Все эти "за" и "против" бесконечности носили теоретико-множественный характер. Однако мы вынуждены продолжить защиту бесконечности, поскольку имеются выступления против бесконечности и канторовской теории множеств и с другой стороны, а именно, со стороны анализа классических парадоксов, когда результаты этого анализа используются для ниспровержения и дискредитации бесконечности. При этом аргументация ниспровержения является весьма солидной, поскольку в качестве аргументов используются результаты машинного моделирования парадоксов. Речь идет о работе А.А. Зенкина "Новый подход к анализу проблемы парадоксов" [2]. Посвящена она главным образом парадоксу "Лжец" и все антиканторовские выводы в ней основываются как на результатах анализа самого этого парадокса, так и на анализе результатов его машинного моделирования. Концепция Зенкина, как это нетрудно видеть из его же работы [3], претендует на то, чтобы она стала общепринятой в философском и, особенно, в математическом знании (см., например, его призыв в конце статьи [3]). Последствия принятия этой концепции будут весьма фундаментальными. Мало того, что придется отбросить весьма эффективную и солидную часть математического знания, но еще и наши представления о Бытии и о Всем Сущем будут отброшены на целые тысячелетия назад, когда Космос был конечным и круглым. Все это и заставило нас весьма скрупулезно вникнуть в аргументы Зенкина против бесконечности со стороны парадоксов в его работе [2].

Во-первых, в этой работе говорится [2, с. 80], что общим для всех усовершенствований теории множеств, "более похожих на грубое хирургическое вмешательство, чем (по мягкому выражению Гильберта) на "лекарства против парадоксов", является готовность пожертвовать любой частью здорового тела математической науки, но не столько для избавления математики от парадоксов, сколько ради сохранения ... теории трансфинитных чисел Г. Кантора, которая, например, тому же Гильберту, представлялась "заслуживающим удивления цветком математического духа и вообще одним из высших достижений чисто умственной деятельности человека" ... . хотя ни для кого и никогда не было секретом, что для "спасения" математического "Титаника" было достаточно "запретить" использование в математике актуальной бесконечности и "пожертвовать" именно теорией трансфинитных чисел Кантора." Вот это и есть та концепция, которую отстаивает автор работы [2]. Во-вторых, в заключении к ней автор упоминает о своей статье "Ошибка Георга Кантора" [4] и напоминает, что им "показано, что канторовское "доказательство" существования бесконечных множеств, различающихся по их мощности (теорема Г. Кантора о несчетности множества всех действительных чисел), также основано на нефинитном "рассуждении" вида (5)". Под видом же (5) имеется ввиду "парадоксальная потенциально-бесконечная осцилляция" на с. 87 в [2]. «такое совпадение, – продолжает автор, – с результатами настоящей работы, конечно же, не случайно и является достаточно убедительным свидетельством того факта, что исторический "спор" Георга Кантора о природе актуальной бесконечности с Аристотелем, Лейбницем, Беркли, Локком, Гауссом, Коши, Пуанкаре, ... и другими, которые ... "... выказывали полнейшую убежденность в окончательной победе занимаемой ими позиции" ..., завершается в пользу знаменитого не лозунга, а пророчества великого Аристотеля: "Infinitum Actu Non Datur"». Кроме этого, как видно из приведенного фрагмента заключения, его автор в своем отрицании актуальной бесконечности опирается и на то, "что канторовское "доказательство" существования бесконечных множеств ... основано на нефинитном "рассуждении" вида" "парадоксальной потенциально-бесконечной осцилляции (5)". С одной стороны, автор здесь неточен в том, что называет канторовское диагональное доказательство нефинитным, которое на самом деле является финитным, что он сам и утверждает в [4, с. 167]: "2. Вывод Кантора о несчетности множества X "перепрыгивает" через потенциально-бесконечный этап ...". С другой стороны, сама "парадоксальная потенциально-бесконечная осцилляция вида (5)" основывается на несостоятельном "потенциально-бесконечном рассуждении вида (3)" (виды (5) и (3) приводятся ниже). Поэтому, чтобы защитить актуальную бесконечность, мы дадим критический анализ аргументации Зенкина, приведшей его к необоснованной парадоксальной потенциально-бесконечной осцилляции, используемой им для дискредитации актуальной бесконечности и канторовской теории множеств, а затем из