Психолого-педагогические основы математического мышления

1. Мышление, его особенности и виды

Одной из задач общего образования, и в частности школьного математического – развитие мышления учащихся.

Качества учащегося, формируемые в учебно-воспитательном процессе, делятся на общие и специальные. Мышление, конечно, относится к общим качествам, и его формирование происходит в процессе обучения всем учебным предметам, в процессе всей жизни учащихся. Однако общепризнанно, и исторический опыт это подтверждает, что обучение математике в формировании мышления играет первостепенную и исключительно большую роль. Тем более, что в данное время выдвигается задача формирования у учащихся не любого мышления, а научно – теоретического, в формировании которого роль математики ещё более значительна.

Поэтому нужно установить, какой вклад в решение задачи формирования научно-теоретического мышления может внести обучение математике, как оно должно быть для этого организовано, каково должно быть его содержание и методы обучения.

В данной главе мы выявим сущность мышления, отметим его особенности и виды, укажем процесс формирования мышления у детей.

С помощью мышления человек познаёт окружающий мир. Однако познание может осуществляться и без мышления, с помощью одних лишь органов чувств (чувственное познание), дающее человеку разного рода ощущения, восприятия и представления о внешнем мире. Чувственное познание является непосредственным, ибо оно осуществляется в результате прямого контакта человека, его органов чувств, с познаваемым объектом. Между тем мышление является опосредованным познанием объекта, ибо оно осуществляется путём чувственного восприятия совсем другого объекта, закономерно связанного с познаваемым объектом, или же путём мысленной переработки чувственных представлений. Таким образом, мышление, конечно, опирается на чувственное познание и без него невозможно, однако оно далеко выходит за его пределы и поэтому позволяет познать такие объекты, такие стороны явлений, которые недоступны органам чувств.

Мышление позволяет человеку выявить в познаваемых объектах не только отдельные их свойства и стороны, что возможно установить с помощью чувств, но и отношения и закономерности связей и отношений между этими свойствами и сторонами. Тем самым с помощью мышления человек познаёт общие свойства и отношения, выделяет среди этих свойств существенные, определяющие характер объектов. Это позволяет человеку предвидеть результаты наблюдаемых событий, явлений и своих собственных действий.

Итак, если чувственное познание даёт человеку первичную информацию об объектах окружающего мира в виде отдельных свойств и наглядных представлений (образов) о них, то мышление перерабатывает эту информацию, выделяет в выявленных свойствах существенные, сопоставляет одни объекты с другими, что даёт возможность обобщения свойств и создание общих понятий, а на основе представлений-образов – строить идеальные действия с этими объектами и тем самым предсказывать возможные результаты действий и преобразований объектов, позволяет планировать свои действия с этими объектами.

Вся эта огромная работа выполняется с помощью мыслительных операций : сравнения, анализа и синтеза, абстракции, обобщения и конкретизации.

Сравнение – это сопоставление объектов познания с целью нахождения сходства (выделения общих свойств) и различия (выделения особенных свойств каждого из сравниваемых объектов) между ними. Эта операция лежит в основе всех других мыслительных операций.

Анализ – это мысленное расчленение предмета познания на части. Синтез – мысленное соединение отдельных элементов или частей в единое целое. В реальном мыслительном процессе анализ и синтез всегда выполняются совместно. Анализ и синтез как мыслительные операции не следует смешивать с аналитическим и синтетическими методами доказательства теорем и решения задач (иногда даже выделяют аналитико-синтетический и синтетико-аналитический методы). В любом из этих методов используется и анализ и синтез, как мыслительные операции, а различаются они лишь ходом рассуждений, идущих от условий к заключению.

Абстракция – это мысленное выделение каких-либо существенных свойств и признаков объектов при одновременном отвлечении от всех других их свойств и признаков. В результате абстракции выделенное свойство или признак сам становится предметом мышления. Все математические понятия как раз и представляют собой абстрактные объекты. Так, например, понятие геометрической фигуры образуется путём выделения в наблюдаемых предметах их формы, протяжённости и взаимного положения в пространстве и отвлечения от всех других свойств (материала, цвета, массы и т.д.). Но при этом производится не только абстрагирование (выделение указанных свойств и отбрасывание всех остальных), но и идеализация этих свойств путём мысленного перехода к предельным формам, которые реально, конечно, не существуют (идеальная прямая, точка, плоскость и т.д.).

Обобщение используется в двух различных формах:

1) как мысленное выделение общих свойств (инвариантов) в двух или нескольких объектах и объединение этих объектов в группы

по основе выделенных инвариантов (эмпирическое обобщение);

2) как мысленное выделение в рассматриваемом объекте или нескольких объектов в результате анализа их существенных свойств в виде общего понятия для целого класса объектов (научно-