Приближенные вычисления в расчетных химических задачах

Приближенные вычисления в расчетных химических задачах

Введение

Каждый учитель в своей практике сталкивался с ситуацией, когда учащийся, решая расчётную задачу, получает ответ, немного отличающийся от ответа, данного в задачнике, или у группы учащихся ответы различаются между собой. Незначительно, на десятые или даже сотые. Тем не менее возникает вопрос: какой ответ правильный при условии, что решение задачи верное?

Однозначно можно утверждать, что суть этой проблемы заключена в способах вычислений, производимых учащимися. Точнее, в неправильных приближённых вычислениях.

В математике есть целые разделы, где изложены правила приближённых вычислений, приведены доказательства теорем, следствия и т. п. При обучении химии наиболее существенно сформулировать правила приближённых вычислений, основанных на математических законах, строгих, понятных и достаточных для того, чтобы решение и оформление химической задачи было корректным с точки зрения математики.

Рассмотрим задачу.

Задача 1. Вычислите объём 10%-ной соляной кислоты, которую можно нейтрализовать 26,3 г питьевой соды, содержащей примеси (массовая доля примесей 0,026). Ответ округлите до сотых.

Можно сказать, что с математической точки зрения эта, и любая другая, расчётная химическая задача сводится к вычислению некоторого числа на основании чисел, заданных в условии задачи и(или) взятых из справочника.

Поэтому первое, что необходимо, — это научиться правильно записывать и характеризовать числа, учитывая, точные они или приближённые.

Точные и приближённые числа

Числа бывают точными и приближёнными. Точное число абсолютно. Приближённое число имеет погрешность. Форма записи не влияет на точное число. Точное число 2 можно записать так: 2; 2,0; 2,00; 2,000. Эти записи обозначают одно и то же. Принципиально иная картина с записью приближённого числа 2: записи «2; 2,0; 2,00; 2,000» неравноценны. Следовательно, чтобы правильно записать число, надо понимать, с какими числами — точными или приближёнными — мы имеем дело.

При решении расчётной химической задачи используют числа из разных источников. Во-первых, указанные в условии задачи числовые значения физических величин: массы, объёма и т. д. Во-вторых, числовые значения физических величин, взятые из справочников, например плотности или молярной концентрации раствора, относительной атомной и молекулярной массы, молярной массы. В-третьих, числа, полученные в результате промежуточных вычислений в ходе решения задачи. Наконец, коэффициенты пересчёта одних единиц в другие, коэффициенты пропорциональности и т. п. Какие эти числа: точные или приближённые?

Очевидно, самая большая проблема будет состоять в определении характера чисел, указанных в условии задачи. Мы имеем основания считать их приближёнными числами. Этичисла — результат измерений физических величин. А поскольку любое измерение можно провести с ограниченной точностью, то и точность чисел будет ограниченна. С этим можно не соглашаться. Но принятие этой или иной точки зрения повлечёт определённые последствия, влияющие на ответ задачи.

Числовые значения, указанные в справочниках, — всегда приближённые числа.

Числовые значения, полученные в результате вычислений, могут быть как точными, так и приближёнными. Очевидно, если хотя бы одно число приближённое, в результате не может быть получено точное число. В то же время не всегда результат вычисления двух точных чисел — точное число. Например, частное от деления единицы на три — бесконечная дробь, после округления которой получится приближённое число.

Всевозможные коэффициенты мы будем считать точными числами, если не указано обратное. Например, числа л и е — приближённые.

Числовые значения величин, принадлежащие множеству натуральных чисел: число частиц, количество процедур и др., — точные числа. При этом число Авогадро приближённое. Значение количества вещества в качестве неизвестного — приближённое число.

Таким образом, с нашей точки зрения, математическое решение расчётной химической задачи сводится к приближённым вычислениям.

Правила записи приближённых чисел

Все числа в расчётной химической задаче обычно записывают либо в виде целого числа, либо в виде десятичной дроби и очень редко — в виде обыкновенной. Целое число десятичных знаков не имеет. А десятичная дробь имеет десятичные знаки, которыми являются все цифры, расположенные после запятой.

Например, в условии задачи указан объём воды, равный 5 л. В этом числе десятичных знаков нет. Указана масса железа, равная 1,005 кг. В числе 1,005 десятичными знаками будут 0, 0 и 5, т. е. число имеет три десятичных знака.

Значащими цифрами десятичной дроби называют все её цифры, кроме нулей, расположенных левее первой отличной от нуля цифры.

В предыдущем примере все цифры значащие. Первая отличная от нуля цифра — 1, поэтому и она сама, и все числа, следующие за ней, значащие, всего четыре. Если в условии дан объём 0,050 л, то в этом числе первая цифра, отличная от нуля, — 5. Согласно определению первые два нуля значащими не будут, следовательно, в этом числе две значащие цифры.

Значащими цифрами целого числа называют все его цифры, кроме нулей, расположенных в конце числа, если они стоят взамен неизвестных или отброшенных чисел. Например, числовое значение массы 12 450 имеет пять значащих цифр, если все цифры известны, и четыре, если последний нуль ст