Теоретические подходы к феномену "математическое мышление"

Исследования многих отечественных и зарубежных психологов показывают, что без целенаправленного развития математического мышления, являющегося одним из важнейших компонентов процесса познавательной деятельности, невозможно достичь эффективных результатов и обучении, систематизации знаний, умений и навыков [1].

К сожалению, единого мнения по вопросу определения понятия математического мышления в психолого-педагогической и методической литературе нет.

При его характеристике возникают сложные вопросы о взаимосвязи этого понятия с понятиями мышление вообще и конкретные виды мышления.

Одни исследователи считают, что математического мышления как такового, обладающего своими специфическими формами мыслительных действий, нет; своеобразие такого мышления связано, по их мнению, лишь с характером собственно математического материала. Другими словами, представители первого подхода отрицают специфику математического мышления (Л.С. Трегуб, Г. Фрейдепталь и др.).

Так, Л.С. Трегуб полагает, что демонстрация "единых принципов человеческого познания означает, что нет особых методов математического мышления" [2, с. 7], своеобразного по методу и по способу своего функционирования. З.И. Слепкань считает неправомерными попытки введения этого понятия с выделением в нем своих особенностей и компонентов и его отождествление с логическим мышлением [3, с. 18], а Г. Фрейдепталь пишет, что пока невозможно убедительно раскрыть суть математического мышления [4, с. 9].

Мы согласны с Л.К. Максимовым [5; 6; 7] в том, что, хотя методы математического мышления сейчас широко применяются в других науках и имеют статус общих методов познания, все-таки оно имеет свои особенности, которые отличают его от мышления в других научных областях. Специфику математического мышления следует искать не в его методах, а в его объектах [8], — так как первые порождаются вторыми, а также "в своеобразии его предметного содержания" [5].

Так, математик и философ Г. Вейль пишет: "В процессе мышления мы пытаемся постичь разумом истину; наш разум стремится просветить себя, исходя из своего опыта. Поэтому, подобно самой истине и опыту, мышление по своему характеру есть нечто довольно однородное и универсальное. Влекомое глубочайшим внутренним светом, оно не сводится к набору механически применяемых правил и не может быть разделено водонепроницаемыми переборками на такие отсеки, как мышление историческое, философское, математическое и другое. Правда, существуют — скорее внешне — некоторые специфические особенности и различия; так, например, процедуры установления фактов в зале суда и в физической лаборатории заметно различаются. Под математическим способом мышления я понимаю, во-первых, особую форму рассуждений, посредством которых математика проникает в науки о внешнем мире — физику, химию, биологию, экономику и т.д. и даже в наши размышления о повседневных делах и заботах, и, во-вторых, ту форму рассуждений, к которой прибегает в своей собственной области математик, будучи предоставленным самому себе" [9].

Второй подход представлен исследованиями Ж. Пиаже и его сторонников (мышление как "биологический процесс") [10]. Согласно этим ученым, под математическим мышлением понимается собственно логико-математическое мышление, имеющее так называемые "абстракции действия". Теория Пиаже включает в себя два основных компонента: учение о функциях интеллекта и учение о стадиях его развития. Развитие детского мышления понимается как смена соответствующих стадий и описывается с помощью понятий логики и математики. Так, например, в дошкольном и школьном возрасте у детей формируются умственные структуры, соответствующие основным математическим структурам (алгебраическая, топологическая, порядка), которые выделены в математике Нурбак. Математические структуры, по мнению Ж. Пиаже, являются формальным продолжением умственных структур. Основу такого соответствия он видит в их генетическом родстве (его источник — абстракции действий) [10]. Таким образом, концепцию Ж. Пиаже можно сформулировать следующим образом: лишь на основе сложившихся умственных структур возможно формирование математического мышления у детей.

Отечественная психология неоднозначно относится к трудам Ж. Пиаже, отмечая в них как сильные, так и слабые стороны. П.Я. Гальперин и Д. Эльконин не согласны ни с тем, что логика является единственным или хотя бы главным критерием мышления, пи с тем, что уровень формально-логических операции составляет высший уровень развития мышления.

Согласно Ж. Пиаже, интеллектуальное, и в частности математическое развитие закапчивается к 15 годам, так как к этому времени все структуры у подростка уже сформированы, Б дальнейшем речь может идти лишь об их конкретизации и наполнении различными знаниями, умениями, навыками и способами деятельности. Однако, как показали исследования И.Я. Каплуновича, после 15 лет математическое развитие продолжается, прежде всего за счет формирования разнообразных связей и отношений между отдельными подструктурами [11].

Л.К. Максимов считает, что этот подход не освещает вопрос о функциональном развитии мышления. Развитие детского мышления понимается как смена стадий развития интеллекта, которые "привязаны" к возрасту. Кроме того, теория Ж. Пиаже "абсолютизирует момент самодвижения" и "недооценивает значение целенаправленных, формирующих воздействий извне", так как определяется только внутренними