Логическое мышление младших школьников

5.13. Как решать логические задачи?

Разнообразие логических задач очень велико. Способов их решения тоже немало. Но наибольшее распространение получили следующие три способа решения логических задач:

· средствами алгебры логики;

· табличный;

· с помощью рассуждений.

Познакомимся с ними поочередно.

I. Решение логических задач средствами алгебры логики

Обычно используется следующая схема решения:

1. изучается условие задачи;

2. вводится система обозначений для логических высказываний;

3. конструируется логическая формула, описывающая логические связи между всеми высказываниями условия задачи;

4. определяются значения истинности этой логической формулы;

5. из полученных значений истинности формулы определяются значения истинности введённых логических высказываний, на основании которых делается заключение о решении.

Пример 1. Трое друзей, болельщиков автогонок "Формула-1", спорили о результатах предстоящего этапа гонок.

– Вот увидишь, Шумахер не придет первым, – сказал Джон. Первым будет Хилл.

– Да нет же, победителем будет, как всегда, Шумахер, – воскликнул Ник. – А об Алези и говорить нечего, ему не быть первым.

Питер, к которому обратился Ник, возмутился:

– Хиллу не видать первого места, а вот Алези пилотирует самую мощную машину.

По завершении этапа гонок оказалось, что каждое из двух предположений двоих друзей подтвердилось, а оба предположения третьего из друзей оказались неверны. Кто выиграл этап гонки?

Решение. Введем обозначения для логических высказываний:

Ш – победит Шумахер; Х – победит Хилл; А – победит Алези.

Реплика Ника "Алези пилотирует самую мощную машину" не содержит никакого утверждения о месте, которое займёт этот гонщик, поэтому в дальнейших рассуждениях не учитывается.

Зафиксируем высказывания каждого из друзей:

Учитывая то, что предположения двух друзей подтвердились, а предположения третьего неверны, запишем и упростим истинное высказывание

Высказывание истинно только при Ш=1, А=0, Х=0.

Ответ. Победителем этапа гонок стал Шумахер.

Пример 2. Некий любитель приключений отправился в кругосветное путешествие на яхте, оснащённой бортовым компьютером. Его предупредили, что чаще всего выходят из строя три узла компьютера – a, b, c, и дали необходимые детали для замены. Выяснить, какой именно узел надо заменить, он может по сигнальным лампочкам на контрольной панели. Лампочек тоже ровно три: x, y и z.

Инструкция по выявлению неисправных узлов такова:

1. если неисправен хотя бы один из узлов компьютера, то горит по крайней мере одна из лампочек x, y, z;

2. если неисправен узел a, но исправен узел с, то загорается лампочка y;

3. если неисправен узел с, но исправен узел b, загорается лампочка y, но не загорается лампочка x;

4. если неисправен узел b, но исправен узел c, то загораются лампочки x и y или не загорается лампочка x;

5. если горит лампочка х и при этом либо неисправен узел а, либо все три узла a, b, c исправны, то горит и лампочка y.

В пути компьютер сломался. На контрольной панели загорелась лампочка x. Тщательно изучив инструкцию, путешественник починил компьютер. Но с этого момента и до конца плавания его не оставляла тревога. Он понял, что инструкция несовершенна, и есть случаи, когда она ему не поможет.

Какие узлы заменил путешественник? Какие изъяны он обнаружил в инструкции?

Решение. Введем обозначения для логических высказываний:

a – неисправен узел а; x – горит лампочка х;

b – неисправен узел b; y – горит лампочка y;

с – неисправен узел с; z – горит лампочка z.

Правила 1–5 выражаются следующими формулами:

Формулы 1–5 истинны по условию, следовательно, их конъюнкция тоже истинна:

Выражая импликацию через дизъюнкцию и отрицание (напомним, что ), получаем:

Подставляя в это тождество конкретные значения истинности x=1, y=0, z=0, получаем:

Отсюда следует, что a=0, b=1, c=1.

Ответ на первый вопрос задачи: нужно заменить блоки b и c; блок а не требует замены. Ответ на второй вопрос задачи получите самостоятельно.

II. Решение логических задач табличным способом

При использовании этого способа условия, которые содержит задача, и результаты рассуждений фиксируются с помощью специально составленных таблиц.

Пример 3. В симфонический оркестр приняли на работу трёх музыкантов: Брауна, Смита и Вессона, умеющих играть на скрипке, флейте, альте, кларнете, гобое и трубе.

Известно, что:

1. Смит самый высокий;

2. играющий на скрипке меньше ростом играющего на флейте;

3. играющие на скрипке и флейте и Браун любят пиццу;

4. когда между альтистом и трубачом возникает ссора, Смит мирит их;

5. Браун не умеет играть ни на трубе, ни на гобое.

На каких инструментах играет каждый из музыкантов, если каждый владеет двумя инструментами?

Решение. Составим таблицу и отразим в ней условия задачи, заполнив соответствующие клетки цифрами 0 и 1 в зависимости от того, ложно или истинно соответствующее высказывание.

Так как музыкантов трoе, инструментов шесть и каждый владеет только двумя инструментами, получается,

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать