Интегральные преобразования

Операционное исчисление и некоторые его приложения

Пусть задана функция действительного переменного t, которая удовлетворяет условиям :

1)

2) Функция f(t) кусочно-непрерывная (имеет конечное число точек разрыва первого рода).

3) Для любого значения параметра t>0 существует M>0 и S0³0 такие, что выполняется условие : |f(t)|<Me^{S 0 t}

Рассмотрим функцию f(t)×e^{- pt} , где р – комплексное число р = ( а + i b).

(1)

Применим к этому соотношению формулу Эйлера :

Проинтегрировав это равенство получим :

(2)

Оценим левую часть равенства (2) :

А согласно свойству (3) |f(t)| < Me^{S 0 t}

В случае если a>S₀ имеем :

Аналогично можно доказать, что существует и сходится второй интеграл в равенстве (2).

Таким образом при a>S₀ интеграл, стоящий в левой части равенства (2) также существует и сходится. Этот интеграл определяет собой функцию от комплексного параметра р :

(3)

Функция F(p) называется изображением функции f(t) по Лапласу, а функция f(t) по отношению к F(p) называется оригиналом.

f(t) ÜF(p), где F(p) – изображение функции f(t) по Лапласу.

- это оператор Лапласа.

Смысл введения интегральных преобразований.

Этот смысл состоит в следующем : с помощью перехода в область изображения удается упростить решение многих задач, в частности свести задачу решения многих задач дифференциального, интегрального и интегро-дифференциального уравнения к решению алгебраических уравнений.

Теорема единственности : если две функции j(t) и Y(t) имеют одно и то же изображение F(p), то эти функции тождественно равны.

Смысл теоремы : если при решении задачи мы определим изображение искомой функции, а затем по изображению нашли оригинал, то на основании теоремы единственности можно утверждать, что найденная функция является решением в области оригинала и причем единственным.

Изображение функций s ₀ ( t ), sin ( t ), cos ( t ).

Определение: называется единичной функцией.

Единичная функция удовлетворяет требованиям, которые должны быть наложены на функцию для существования изображения по Лапласу. Найдем это изображение :

Изображение единичной функции

Рассуждая аналогичным образом получим изображение для функции sin(t) :

интегрируя по частям получим :

т.е.

Аналогично можно доказать, что cos (t) переходит в функцию в области преобразований. Откуда :

Изображение функции с измененным масштабом независимого переменного.

где а – константа.

Таким образом :

и

Свойства линейности изображения.

Теорема : изображение суммы нескольких функций умноженное на постоянные равны сумме изображений этих функций умноженных на те же постоянные.

Если , то , где

Теорема смещения : если функция F(p) это изображение f(t), то F(a+p) является изображением функции e^{- a t} f(t) (4)

Доказательство :

Применим оператор Лапласа к левой части равенства (4)

Что и требовалось доказать.

Таблица основных изображений:

F(p)	f(t)	F(p)	f(p)
1

Изображение производных.

Теорема. Если , то справедливо выражение :

(1)

Доказательство :

(2)

(3)

Подставляя (3) в (2) и учитывая третье условие существования функции Лапласа имеем :

Что и требовалось доказать.

Пример : Решить дифференциальное уравнение :

Если x (0)=0 и x ’(0)=0

Предположим, что x (t) – решение в области оригиналов и , где - решение в области изображений.

Изображающее уравнение :

Теорема о интегрировании оригинала . Пусть находится в области оригиналов, , тогда также оригинал, а его изображение .

Таким образом операции интегрирования в области оригиналов соответствует операция деления в области изображений.

Теорема о интегрировании изображений : Пусть – функция оригинал, которая имеет изображение и также оригинал, а - является сходящимся интегралом, тогда .

Толкование теоремы : операция деления на аргумент в области оригиналов соответствует операции интегрирования в пределах от р до ¥ в области изображений.

Понятие о свертке функций. Теорема о свертке.

Пусть заданы две функции a(t) и b(t), удовлетворяющие условиям существования изображения по Лапласу, тогда сверткой таких функций называется следующая функция :

(1)

Свертка обозначается следующим образом :

(1’)

Равенства (1) и (1’) идентичны.

Свертка функции подчиняется переместительному закону.

Доказательство:

Теорема о умножении изображений . Пусть и , тогда произведение изображений представляется сверткой оригиналов .

Д

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать