Экстремумы функций 3

Экстремумы функции

На рисунке 123 изображён график функции y=-3. Рассмотри окрестности точки x =0 , т.е. некоторый интервал содержащий эту точку. Как видно из рисунка, существует такая окрестность точки x =0 , что наибольшее значение функ­ция -3 в этой окрестности принимает в точ­ке x = 0. Например, на интервале (—1; 1) наи­большее значение, равное 0, функция принимает в точке x =0. Точку x = 0 называют точкой мак­симума этой функции.

Аналогично точку x = 2 называют точкой мини­мума функции x —Зх² , так как значение функ­ции в этой точке меньше ее значения в любой точке некоторой окрестности точки x =2, напри­мер окрестности (1,5; 2,5).

Точка называется точкой максимума функции (x ), если существует такая окрестность точки , что для всех x х₀ из этой окрестности выпол­няется неравенство

f(x)

Например, точка х_о = 0 является точкой макси­мума функции f ( x ) =1—х² , так как f (0)=1 и при всех значениях x верно неравенство f ( x ) <1 (рис. 124).

Точка х₀ называется точкой минимума функции f(x), если существует такая окрестность точки х₀ , что для всех x х₀ из этой окрестности выполня­ется неравенство

f(x)

Например, точка х₀ =2 является точкой миниму­ма функции f(x) =3+(x— 2)² , так как /(2) = 3 и /(х)>3 при всех значениях хф2 (рис. 125).

Точки минимума и точки максимума называются точка­ ми экстремума.

Рассмотрим функцию /(х), которая определена в некоторой окрестности точки х₀ и имеет произ­водную в этой точке.

Теорема. Если х₀ — точка экстремума диффе­ренцируемой функции /(х), то /'(х₀ ) = 0.

Это утверждение называют теоремой Ферма¹ . Теорема Ферма имеет наглядный геометрический смысл: касательная к графику функции г/ = /(х) в точке (х₀ ; / (х₀ ), где х₀ — точка экстремума функ­ции г/ = /(х), параллельна оси абсцисс, и поэто­му ее угловой коэффициент /'(х₀ ) равен нулю (рис. 126). Например, функция / (х) = 1 — х² (рис. 124) имеет