Система Лотка-Вольтерра

Вариант № 7

Задание:

1. Ввести новые переменные, максимально уменьшив число параметров системы.

2. Найти неподвижные точки системы и исследовать их характеристики в зависимости от параметров системы.

3. Исследовать поведение предельных циклов. Доказать их существование/несуществование.

4. Построить фазовые портреты системы при всех возможных параметрах системы.

5. Дать биологическую интерпретацию полученным результатам.

1. Вводим новые переменные x - Ax, y - By, t - Tt и переписываем систему:

2. Нахождение неподвижных точек преобразованной системы

2.1 x=0,y=0 ==> O(0,0)

2.2

P

2.3

Q

3. Характеристики неподвижных точек

Запишем Якобиан нашей системы

3.1

3.2

3.3

Проведем дополнительное исследование, обозначив на параметрическом портрете возможные области значений .

а) точка О – сток, как было показано выше;

б) точка Р:

Область 1:

Область 2:

Точка Р – исток (неуст. узел)

Область 3:

Точка Р – седло

в) точка Q:

Область 1:

Область 2:

Область 3:

Точка Q – исток ( неустойчивый узел)

Кроме того, при поиске собственных значений Якобиана возникает уравнение

Решение уравнения D<0 производилось графически , поскольку аналитическое решение в этом случае представляется затруднительным. Для этого использовался математический пакет Maple 6. При фиксированном значении были рассмотрены точки ()области 3, для которых проверялось неравенство D<0. Таким образом, как видно из рисунка, в 3-ей области появляется подобласть 3’. Неравенство D<0 выполняется в области 3 – 3’ , где вещественные части собственных значений будут положительны. В этой области точка Q превращается в неустойчивый фокус.

Запишем результаты исследования характеристик точек в таблицу:

Область Точка	1	2	3	3 – 3’
O	сток	сток	сток	сток
P	не сущ.	исток	седло	седло
Q	не сущ.	не сущ.	исток	неуст. фокус

4.1 Параметрические области системы

4.2 Область 1:

4.3 Область 2:

4.3 Область 3’ :

4.5 Область 3 – 3’ :

5. Биологическая интерпретация модели.

Данная система представляет собой модель взаимного влияния в природе двух животных видов – хищников и жертв. Как видно из рисунков, в этой системе оба вида вымирают. Предельных циклов в системе нет. X – жертвы, Y – хищники. Динамику взаимодействия двух видов описывают три функции: g(x) – функция динамики численности жертв, p(x) – трофическая функция жертв (характеризует число жертв убитых одним хищником), q(x) – трофическая функция хищников (характеризует влияние числа жертв, убиваемых одним хищником, на изменение численности популяции хищников).

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать