Диференціальне рівняння

ПЛАН

1. Основи означення.

2. Диференціальні рівняння І порядку.

3. Задача Коші.

4. Теорема існування та єдності розв'язку.

5. Економічні задачі, що потребують використання диференціального рівняння.

І. Означення. Диференціальним рівнянням називають рівняння, яке містить незалежну змінну х, шукану функцію у і її похідні у, у,..., у^{( N )} .

Символічно диференціальне рівняння записується так:

(1)

Приклад: 2х+у-3у'-0; у'-4-0;

Sinу'-cosх у; у'-2х – диференціальне рівняння.

Означення. Порядком диференціального рівняння називається найбільший порядок похідних, що входять в дане рівняння.

Приклад: ху'+у-2-0 диференціальне рівняння І порядку.

у'''+7у'-3у-0 диференціальне рівняння ІІІ порядку.

Отже розв'язком диференціального рівняння (1) називається інтегральною кривою цього рівняння. Виявляється, що рівняння (1) має безліч розв'язків. Сім'я розв'язків яка залежить від n довільних параметрів називається загальний розв'язком рівняння 1. Процес знаходження розв'язків рівняння (1) називається інтегруванням цього рівняння. Розв'язок рівняння (1) може бути у явному у=у(х) або в неявному – G (х₁ у(х)), яка визначає розв'язок у (х) рівняння (1) називається інтегралом цього рівняння.

2. Диференціальним рівнянням першого порядку виду (2)

де у-у(х) – шукана невідома функція, у'у'(х) – її похідна по х,

F – задана функція змінних х, у, у' . Якщо розв'язати рівняння (2) відносно похідної у'´(якщо це можливо), одержуємо (3)

Означення. Рівняння у'-f(х; у) називається рівнянням першого порядку що розв'язується відносно похідної.

Означення. Функція φ (х) є (а; и) називається розв'язком диференціального рівняння (3), якщо вона має похідну φ' (х) на (а; в) і якщо для будь-якого х є )а; в) правильна рівність: φ' (х) = f (х; φ (х) ) (тобто функція φ (х) , х є (а; в) називається розв'язком диференціального рівняння (3), якщо рівняння (3) при підстановці її замість у перетвориться в тотожність по х на інтервалі (а; в)).

Аналогічно визначається розв'язок диференціального рівняння (2) функція φ (х) розв'язок рівняння, а крива, що задана рівнянням у - φ (х) , називається інтегральною кривою.

3. Задача знаходження розв'язку рівняння (3), що задовольняє умові де х₀ , у₀ – задані числа, називається задачею Коші. Умова (4) називаються початковою умовою.

Геометрично задача Коші полягає в тому щоб знайти інтегральну криву рівняння (3), яка проходить через задану точку М₀ (х₀ ; у₀ ).

У теоріях і застосуваннях важливе значення має така проблема: скільки інтегральних кривих рівняння (3) проходить через задачу точку А₀ (х₀ ; у₀ ) області D.

4. Теорема. Нехай маємо рівняння і області D₁ в якій функції f (х₀ ; у₀ ) і визначені і неперервні. Нехай А₀ (х₀ ; у₀ ) – довільна точка з області D₁ . Тоді існує єдиний розв'язок.

у = φ (х)

рівняння (3), який визначений в деякому околі точки х₀ і задовольняє початкову умову φ (х₀ ) = у₀ .

Приклад 2. Розглянемо рівняння

(5)

Його права частина f (х₀ ; у₀ ) неперервна при у0, тобто у верхній півплощині, включаючи вісь, О_х (область D'₁ ). Функція неперервна при у>0, тобто у верхній півплощині, виключаючи вісь О_х (область D₁ ). Рівняння (5) має сім'ю розв'язків:

, , , (6)

де С – довільна стала. Формула (6) називається загальним розв'язком рівняння (5). Тоді у = (х+с)² , при чому х+с>Q. В півплощині у>0 функція у = (х+с)² є розв'язком початкового рівняння, тут х+с>0, тому ч>-с.

Припустимо, що через кожну точку областіD₁ проходить єдина інтегральна крива рівняння (2). Загальним розв'язком рівняння (2) в області D₁ називається функція у = φ (х, с),

Яка: 1) є розв'язком рівняння (2) при всіх значеннях довільної сталої;

2) дає розв'язок Коші є довільними початковими даними (х₀ , у₀ ) з області D₁ при відповідному значення С=С₀ .

Геометрично розв'язок (6) являє собою сім'ю пів парабол в області D₁ . Коєжнак інтегральна крива одержується з пів параболи у=х² , х>0 зсувом вліво та вправо на осі О_х .

Безпосередньою підстановкою переконуємось, що рівняння (5) має розв'язок у=0, який не можна одержати ні при якому значенні довільної сталої С.

Розв'язок у=0 називається особливим розв'язком рівняння (5)

у

0 х

Частинним розв'язком рівняння (2) називається розв'язок цього рівняння при фіксованому значенні величини С.

Для знаходження частинного розв'язку, який відповідає початковій умові, потрібно підставити х₀ і у₀ у рівняння (7) і визначити С = С₀ з рівняння

У₀ =φ (х₀ , С) (8)

Шуканий частинний розв'язок матиме вигляд У₀ =φ (х, С₀ ) . Особливим розв'язком рівняння (2) називається такий його розв'язок, який не може бути

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать