Мода, медиана, квартили

.

С.В. Усатиков, кандидат физ-мат наук, доцент; С.П. Грушевский, кандидат физ-мат наук, доцент; М.М. Кириченко, кандидат социологических наук

Очень часто исследователю приходится иметь дело с достаточно длинным вариационным рядом или с целой серией таковых. Это могут быть экономические показатели, результаты тестирования различных групп, медико-физиологические замеры и т.п. При их анализе зачастую недостаточно выделения средних арифметических и дисперсий. В подобных случаях хорошую службу могут сослужить приемы выделения моды и медианы, а также перцентильный анализ.

Суть данного метода заключается в том, что объектом анализа являются не частоты сами по себе, а их распределение относительно жестко структурированных вариант. Значимость метода заключается не в том, что при его помощи мы анализируем конкретный вариационый ряд. Понятия моды и медианы являются важной составляющей частью так называемого нормального распределения, являющегося основой для расчетов выборки, доказательства или опровержения выдвигаемых гипотез.

Мода. Мода представляет из себя наиболее часто встречающиеся значения распределения. При этом следует помнить о различиях модального значения для дисперсных и непрерывных характеристик. В первом случае модой является варианта с наибольшей частотой - скажем, максимальный процент выборов в вопросе с номинальной шкалой. Если же речь идет об интервальном ряде, представляющем собой непрерывную характеристику признака, то модальным значением будет являться группа с наибольшим числом наблюдений.

(Модальные значения выделены жирным шрифтом)

При всей практической полезности понятия моды, необходимо отметить, что ей присущ ряд недостатков. Она не может служить четким выражением центральной тенденции. Максимальная частота может преврсходить остальные на порядок (например, 60% в одном пункте при 3-5% в 9 остальных). Кроме того, возможно встретить ряд, в котором имеется 2 или более численно значимых частоты при малых значениях остальных позиций. В этом случае подобные ряды относятся к бимодальным или полимодальным распределениям( см. рис.1 и 2).

Рис.1 Бимодальное распределение Рис.2 Полимодальное распределение

Помимо этого при работе со шкалой отношений мода будет не только “кочевать” из одной группы в другую в зависимости от размера интервала (это вполне естественно), но при этом изменится, зачастую весьма значительно, ее величина.

Эти недостатки моды обуславливают то обстоятельство, что в анализе эта измерительная процедура практически не используется. что впрочем не исключает ее применеия в описательных целях, в основном в виде фраз типа “модальное значение признака лежит в интервале...”.

Медиана. Медианой именуется центральное (серединное) наблюдение в ряду распределения. Так, в ряду из 203 наблюдений медианным будет являться 102. При четном числе наблюдений медианой является среднее арифметическое из тех двух наблюдений, которые делят ряд на две равные части (при n=202, это были бы №№ 101 и 102). Для ряда логических процедур требуется более дробное деление ряда, поэтому кроме медианы выделяются по мере необходимости децили (1/10 ряда), квинтили (1/5) и квартили (1/4). Таким образом, любой ряд может быть разбит на 2 части медианой, на 4 - квартилями, на 5 - квинтилями, на 10 - децилями. Продемонстрируем эти значения, а также ряд осуществляемых с ними процедур на гипотетическом примере. Допустим, при опросе родителей учащихся был использован традиционный вопрос о размере душевого дохода в семье(см. таб1).

Таблица 1. Распределение по уровню душевого дохода семей учащихся станицы Н-ской