Формула полной вероятности

Пусть имеется группа событий H₁ , H₂ ,..., H_n , обладающая следующими свойствами:

1) все события попарно несовместны: H_i H_j =Æ; i, j=1,2,...,n; i¹j;

2) их объединение образует пространство элементарных исходов W:

W=.

Рис.8

В этом случае будем говорить, что H₁ ,H₂ ,...,H_n образуют полную группу событий. Такие события иногда называют гипотезами.

Пусть А – некоторое событие: А ÌW (диаграмма Венна представлена на рисунке 8). Тогда имеет место формула полной вероятности:

P(A) = P(A/ H₁ )P(H₁ ) + P(A/ H₂ )P(H₂ ) + ...+ P(A/ H_n )P(H_n ) =

Доказательство. Очевидно: A = , причем все события (i = 1,2,...,n) попарно несовместны. Отсюда по теореме сложения вероятностей получаем

P(A) = P() + P() +...+ P(

Если учесть, что по теореме умножения P()= P(A/H_i )P(H_i ) (i=1,2,...,n), то из последней формулы легко получить приведенную выше формулу полной вероятности.

Пример. В магазине продаются электролампы производства трех заводов, причем доля первого завода - 30%, второго - 50%, третьего - 20%. Брак в их продукции составляет соответственно 5%, 3% и 2%. Какова вероятность того, что случайно выбранная в магазине лампа оказалась бракованной.

Пусть событие H₁ состоит в том, что выбранная лампа произведена на первом заводе, H₂ на втором, H₃ - на третьем заводе. Очевидно:

P(H₁ ) = 3/10, P(H₂ ) = 5/10, P(H₃ ) = 2/10.

Пусть событие А состоит в том, что выбранная лампа оказалась бракованной; A/H_i означает событие, состоящее в том, что выбрана бракованная лампа из ламп, произведенных на i-ом заводе. Из условия задачи следует:

P (A/H₁ ) = 5/10; P(A/H₂ ) = 3/10; P(A/H₃ ) = 2/10

По формуле полной вероятности получаем

Формула Байеса

Пусть H₁ ,H₂ ,...,H_n - полная группа событий и АÌW – некоторое событие. Тогда по формуле для условной вероятности

(*)

Здесь P(H_k /A) – условная вероятность события (гипотезы) H_k или вероятность того, что H_k реализуется при условии, что событие А произошло.

По теореме умножения вероятностей числитель формулы (*) можно представить в виде

P = P= P(A /H_k ) P(H_k )

Для представления знаменателя формулы (*) можно использовать формулу полной вероятности

P(A)

Теперь из (*) можно получить формулу, называемую формулой Байеса:

По формуле Байеса исчисляется вероятность реализации гипотезы H_k при условии, что событие А произошло. Формулу Байеса еще называют формулой вероятности гипотез. Вероятность P(H_k ) называют априорной вероятностью гипотезы H_k , а вероятность P(H_k /A) –апостериорной вероятностью.

Пример. Рассмотрим приведенную выше задачу об электролампах, только изменим вопрос задачи. Пусть покупатель купил электролампу в этом магазине, и она оказалась бракованной. Найти вероятность того, что эта лампа изготовлена на втором заводе. Величина P(H₂ ) = 0,5 в данном случае это априорная вероятность события, состоящего в том, что купленная лампа изготовлена на втором заводе. Получив информацию о том, что купленная лампа бракованная, мы можем поправить нашу оценку возможности изготовления этой лампы на втором заводе, вычислив апостериорную вероятность этого события.

Выпишем формулу Байеса для этого случая

Из этой формулы получаем: P(H₂ /A) = 15/34. Как видно, полученная информация привела к тому, что вероятность интересующего нас события оказывается ниже априорной вероятности.

Задачи с решениями.

1.В первой урне 7 белых и 3 черных шара, во второй – 8 белых и 2 черных. При перевозке из первой урны во вторую урну перекатились два шара. После того, как шары во второй урне перемешались, из неё выкатился шар. Найти вероятность того, что выкатившийся из второй урны шар белый.

Пусть событие Н₁ состоит в том, что из первой урны во вторую перекатились два белых шара, событие Н₂ состоит в том, что перекатились два чёрных шара, а событие Н₃ состоит в том, что перекатились шары разного цвета. Можно вычислить вероятности Р(Н₁ )==7/15, Р(Н₂ )==1/15, Р(Н₃ )==7/15 (при решении задачи полезно проверить выполнение необходимого условия ).

Если реализовалась гипотеза Н₁ , то во второй урне оказалось 10 белых и 2 черных шара. Обозначим через А событие, заключающееся в том, что из второй урны выкатился белый шар. Тогда Р(А/Н₁ )==5/33. Если реализовалась гипотеза Н₂ , то во второй урне оказалось 8 белых и 4 чёрных шара, и Р(А/Н₂ )==4/33. Легко показать, что Р(А/Н₃ )==3/22. Теперь можно воспользоваться формулой полной вероятности:

Р(А)=(5/33)×(7/15)+(4/33) (1/15)+(3/22) (7/15)=47/330

2. В условие задачи №1 внесем изменение. Пусть после того, как из первой урны во вторую перекатились два шара и шары во второй урне перемешались, из неё выкатился белый шар. Найти вероятность того, что из первой у

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать