Интеграл Пуассона

.

Пусть ¦(x ) , g (x ),x ÎR¹ –суммируемые на [-p, p] , 2p- периодические, комплекснозначные функции. Через f * g(x) будем обозначать свертку

f * g(x) =dt

Из теоремы Фубини легко следует, что свертка суммируемых функций также суммируема на [-p,p]и

c_n ( f*g ) = c_n ( f )× c_n ( g ) , n = 0, ±1 , ±2 , ... ( 1 )

где {c_n ( f )} -- коэффициенты Фурье функции f ( x ) :

c_n = ^{-i n t} dt , n = 0, ±1,±2,¼

Пусть ¦ÎL¹ (-p,p) . Рассмотрим при 0£r <1 функцию

¦_r ( x ) = _n ( f ) r^{| n |} e^{i n x} , x Î[-p,p] , ( 2 )

где ряд в правой части равенства (2) сходится равномерно по х для любого фиксированного r , 0£r <1 . Коэффициенты Фурье функции ¦_r (х)равны

c_n ( f_r ) = c_n × r^{| n |} , n = 0 , ±1,±2,¼, а это согласно (1) значит, что ¦_r ( x ) можно представить в виде свертки :

¦_r ( x ) = , ( 3 )

где

, t Î[-p,p]. ( 4 )

Функция двух переменных Р_r (t) , 0 £r<1 , t Î[-p,p] , называется ядром Пуассона , а интеграл (3) -- интегралом Пуассона .

Следовательно,

P_r ( t ) = , 0£r <1, t Î[-p,p] . ( 5 )

Если ¦Î L¹ ( -p,p ) -действительная функция , то , учитывая , что

c_-n ( f ) = `c_n ( f ) , n = 0,±1,±2,¼,из соотношения (2) мы получим :

f_r ( x ) =

=, ( 6 )

где

F ( z ) = c₀ ( f ) + 2 ( z = re^ix ) ( 7 )

- аналитическая в единичном круге функция . Равенство (6) показывает, что для любой действительной функции ¦ÎL¹ ( -p, p ) интегралом Пуассона (3) определяется гармоническая в единичном круге функция

u ( z ) = ¦_r (e^ix ) , z = re^ix , 0 £ r <1 , x Î [ -p, p ] .

При этом гармонически сопряженная с u (z) функция v (z) c v (0) = 0 задается формулой

v (z) = Im F (z) = . ( 8 )

Утверждение1.

Пусть u (z) - гармоническая ( или аналитическая ) в круге |z |<1+e(e>0)функция и ¦ (x) = u (e^ix ) , xÎ[-p, p] . Тогда

u (z) = ( z = re^ix , | z |<1 ) ( 10 ).

Так как ядро Пуассона P_r (t) - действительная функция, то равенство (10) достаточно проверить в случае, когда u (z) - аналитическая функция:

=, | z |<1+ e .

Но тогда

и равенство (10) сразу следует из (2) и (3).

Прежде чем перейти к изучению поведения функции ¦_r (x ) при r®1 , отметим некоторые свойства ядра Пуассона:

а) ;

б) ;

в) для любого d>0

Соотношения а) и в) сразу следуют из формулы (5), а для доказательства б) достаточно положить в (2) и (3) ¦(х)º1.

Теорема 1.

Для произвольной (комплекснозначной) функции ( -p, p ) , 1 £ p < ¥ , имеет место равенство

;

если же ¦ (x) непрерывна на [ -p, p ] и ¦ (-p) = ¦ (p) , то

.

Доказательство.

В силу (3) и свойства б) ядра Пуассона

( 12 )

Для любой функции , пользуясь неравенством Гельдера и положительностью ядра Пуассона , находим

.

Следовательно,

.

Для данного e>0 найдем d = d (e) такое, что . Тогда для r , достаточно близких к единице, мы получим оценку

.

Аналогично второе неравенство вытекает из неравенства

.

Теорема 1 доказана.

Дадим определения понятий "максимальная функция" и "оператор слабого типа", которые понадобятся нам в ходе доказательства следующей теоремы.

Определение1.

Пусть функция суммируема на любом интервале (-А, А), А > 0 . Максимальной функцией для функции называется функция

где супремум берется по всем интервалам I , содержащим точку х.

Определение 2.

Оператор называется оператором слабого типа (р,р) , если для любого y > 0

.

Теорема 2 (Фату).

Пусть - комплекснозначная функция из . Тогда

для п.в. .

Доказательство.

Покажем, что для и

, ( 13 )

где С - абсолютная константа , а M ( f, x ) - максимальная функция для f (x) [*] . Для этой цели используем легко выводимую из (5) оценку

(К - абсолютная константа).

Пусть - такое число, что

.

Тогда для

.

Неравенство (13) доказано. Используя затем слабый тип (1,1) оператора , найдем такую последовательность функций ,что

,

( 14 )

для п.в. .

Согласно (13) при xÎ (-2p,2p)

Учитывая , что по теореме 1 для каждого xÎ [-p,p] и (14)

Из последней оценки получим

при n®¥.

Теорема 2 доказана.

Замечание.

Используя вместо (13) более сильное неравенство (59), которое мы докаже

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать