Загальні властивості однорідних лінійних диференціальних рівнянь n-го порядку

Реферат на тему:

Загальні властивості однорідних лінійних диференціальних рівнянь n-го порядку.

1. Властивості лінійного диференціального оператору.

Лінійним диференціальним рівнянням називається рівняння вигляду

(5.1)

де Pi(x), i =1,2,…, n , f(x) – задані функції, неперервні на (a,b).

При цих умовах диференціальне рівняння (5.1) має єдиний розв’язок

y=y(x), який задовільняє початковим умовам .

Цей розв’язок визначений і n раз неперервно диференційований на (a,b).

Особливих розв’язків диференціальне рівняння (5.1) не має. Будь-який розв’язок являється частинним. Якщо при стоїть , то точки, в яких =0, називаються особливими.

Якщо f(x)=0, то диференціальне рівняння (5.1) називають однорідним

(5.2)

Для скорочення запису введемо лінійний диференціальний оператор

(5.3)

Властивості оператора L :

a) L (xy)=k *L (y), k = const;

b) L ()=L () + L ();

c) L.

Використовуючи оператор L диференціального рівняння (5.1) і (5.2) перепишемо у вигляді L (y) = f (x), L (y) = 0 .

Означення 5.1. Функція y = y (x) називається розв’язком диференціального рівняння (5.1), якщо L (y) f (x) (для диференціального рівняння (5.2)

L (y(x)) 0).

Лінійне диференціальне рівняння (5.1) залишається бути лінійним при будь-якій заміні незалежної змінної .

Лінійне диференціальне рівняння (5.1) залишається бути лінійним при будь-якій лінійній заміні шуканої функції . (5.4)

2. Властивості розв’язків лінійного однорідного диференціального рівняння n–го порядку.

Наша задача полягає в тому, щоб знайти всі дійсні розв’язки диференціального рівняння (5.5)

Для розв’язування такої задачі доцільно знайти деякі комплексні розв’язки.

Означення 5.2 Функцію z(x) = w(x) + iv(x), де w(x),v(x) дійсні функції, будемо називати комплексною функцією від дійсної змінної х (w(x) – дійсна частина, v(x) – уявна частина).

Приклад 5.1. Показати справедливість формул , . (5.6)

Формули (5.6) доводяться виходячи з розкладу відповідних множників b раз.

Похідна n-го порядку від z (x) дорівнює . (5.7)

Приведемо формули для обчислення похідної :

а) ; (5.8)

Дійсно

б) Для дійсного к і будь-якого справедлива формула

; (5.9)

в) Використовуючи (5.9) можна показати , (5.10)

де - поліноми степеня n ;

г) При будь-якому (дійсному або комплексному) справедлива формула

. (5.11)

Формула (5.11) доводиться шляхом представлення і використання формули (5.8).

Означення 5.3. Комплексна функція y (x) = (x) + i(x) (5.12) називається розв’язком однорідного диференціального рівняння (5.5); якщо

L (y(x)) 0, a < x < b.

Комплексний розв’язок (5.12) утворює два дійсних розв’язки (x), (x).

Дійсно L (y(x)) = L ((x) + i(x)) = L((x)) + iL((x)) = 0 .

Звідки L((x)) = 0, L((x)) = 0.

Властивості розв’язків лінійного однорідного диференціального рівняння (5.5).

а) Якщо (x) – розв’язок , тобто L() 0, то y=c(x), де с – довільна константа , теж розв’язок диференціального рівняння (5.5)

L(с) = сL() = 0.

б) Якщо (x), (x) - розв’язки диференціального рівняння (5.5) , то

у= (x)+(x) теж розв’язок . Дійсно L (+) = L ()+L () = 0.

в) Якщо (x), (x), ... , ) - розв’язки диференціального рівняння (5.5), то їх лінійна комбінація також являється розв’язком

L= 0.

Приклад 5.2. Записати двохпараметричне сімейство розв’язків.

, =cos(x), =sin(x) - розв’язки, тоді y = ccos(x)+csin(x) - розв’язок .

3. Необхідні і достатні умови лінійної незалежності n-розв’язків лінійного однорідного диференціального рівняння n – го порядку.

Означення 5.4. Функції (x), (x), ... , називаються лінійно незалежними на (a,b) , якщо між не існує співвідношення виду

(x) + (x) + ... + 0 , a < x < b , (5.13)

де , ... , - постійні числа не рівні нулю одночасно . В противному випадку функції (x), (x), ... , називають лінійно залежними на (a,b).

Для двох функцій поняття лінійної незалежності на (a,b) зводиться до того, щоб відношення функцій , не було постійним на (a,b).

Зауваження 5.1. Якщо одна із функцій на (a,b) тотожньо дорівнює нулю, то ці функції лінійно залежні.

Приклад 5.3. Функції =1, =x, ... , - лінійно незалежні на будь-якому інтервалі (a,b) . Дійсно співвідношення

+x + ... +x=0 , в якому не всі дорівнюють нулю, не може виконуватися для будь-яких x , так як рівняння (n-1) – го степеня має не більше (n-1) – го коренів.

Приклад 5.4. Функції , - лінійно незалежні, так як співвідношення , де не рівні одночасно нулю, виконуються не більше ніж в одній точці. Це випливає з =.

Приклад 5.5. Функції =sinx , =cosx , =1 – лінійно залежні на , так як для будь-якого х справджується співвідношення

sinx + cosx – 1 = 0 .

Розглянемо необхідні умови лінійної залежності n - функцій .

Теорема 5.1. Якщо функції (x), (x), ... , - лінійно залежні на (a,b) , то їх вронскіан W (x) тотожньо дорівнює нулю на (a,b) . Тут

W (x) = (5.14)

Доведення. Згідно умови

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать