Эрмитовы операторы

Эрмитовы операторы

Содержание

Линейные операторы

Линейные уравнения

Эрмитовы операторы

Линейные операторы

Пусть M и N — линейные множества. Оператор L , преобразующий элементы множества M в элементы множества N , называется линейным, если для любых элементов f и g из M и комплексных чисел λ и μ справедливо равенство

L(λ+ μ g ) = λLf + μ Lg (1)

При этом множество M = M_L называется областью определения оператора L . Если Lf = f при всех f Є M , то оператор L называется тождественным (единичным) оператором. Единичный оператор будем обозначать через I.

Линейные уравнения

Пусть L — линейный оператор с областью определения M_L . Уравнение

Lu = F (2)

называется линейным неоднородным уравнением. В уравнении (2) заданный элемент F называется свободным членом (или правой частью), а неизвестный элемент и из M_L — решением этого уравнения.

Если в уравнении (2) свободный член F положить равным нулю, то полученное уравнение

Lu = 0 (3)

называется линейным однородным уравнением, соответствующим уравнению (2).

В силу линейности оператора L совокупность решений однородного уравнения (3) образует линейное множество; в частности, и = 0 всегда является решением этого уравнения.

Всякое решение и линейного неоднородного уравнения (2) (если оно существует) представляется в виде суммы частного решения и_о этого уравнения и общего решения ŭ, соответствующего линейного однородного уравнения (3)

и = и_о + ŭ .

Отсюда непосредственно выводим: для того чтобы решение уравнения (2) было единственным в M_L , необходимо и достаточно, чтобы соответствующее однородное уравнение (3) имело только нулевое решение в M_L . Пусть однородное уравнение (3) имеет только нулевое решение в M_L . Обозначим через R_l область значений оператора L , т.е. (линейное) множество элементов вида {Lf }, где f пробегает M_L . Тогда для любого F Є R_l уравнение (2) имеет единственное решение и Є M_L , и, таким образом, возникает некоторый оператор, сопоставляющий каждому элементу F из R_l соответствующее решение уравнения (2). Этот оператор называется обратным оператором к оператору L и обозначается через L ^-1 , так что

и = L ^-1F . (4)

Оператор L^-1 , очевидно, является линейным и отображает R_l на M_L . Непосредственно из определения оператора L ^-1 , а также из соотношений (2) и (4) вытекает:

L L ^-1F = F , F Є R_l ; L ^-1 Lu = u , и Є M_L ,

т.е. L L ^-1 = I , L ^-1 L = I .

Если линейный оператор L имеет обратный L ^{- 1} , то системы функций {φ _k } и { L φ _k } одновременно линейно независимы. (При этом, естественно, предполагается, что все φ _k принадлежат M_{L .} )

Рассмотрим линейное однородное уравнение

Lu = λu , (5)

где λ — комплексный параметр. Это уравнение имеет нулевое решение при всех λ. Может случиться, что при некоторых λ оно имеет ненулевые решения из M_L . Те комплексные значения λ, при которых уравнение (5) имеет ненулевые решения из M_L , называются собственными значениями оператора L , а соответствующие решения — собственными элементами (функциями), соответствующими этому собственному значению. Полное число r , 1 ≤ r ≤ ∞ , линейно независимых собственных элементов, соответствующих данному собственному значению λ, называется кратностью этого собственного значения; если кратность r = 1, то λ называется простым собственным значением.

Если кратность r собственного значения λ оператора L конечна и u ₁ ,...,и₂ — соответствующие линейн

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать