Преобразования фигур

Малоязовская башкирская гимназия

Геометрия

Реферат

на тему:

“Преобразования фигур”

Выполнил: ученик 10 Б класса

Халиуллин А.Н.

Проверила: Исрафилова Р.Х.

Малояз 2003 год

План:

I . Преобразование.

II . Виды преобразований

1. Гомотетия

2. Подобие

3. Движение

III . Виды движения

1. Симметрия относительно точки

2. Симметрия относительно прямой

3. Симметрия относительно плоскости

4. Поворот

5. Параллельный перенос в пространстве

I Преобразование - смещение каждой точки данной фигуры каким-нибудь образом, и получение новой фигуры.

II Виды преобразования в пространстве : подобие, гомотетия, движение.

Подобие

Преобразование фигуры F называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз, т.е. для любых точек X и Y фигуры F и точек X’, Y’ фигуры F’, в которые он переходят, X’Y’ = k * XY.

Свойства подобия: 1. Подобие переводит прямые в прямые, полупрямые – в полупрямые, отрезки – в отрезки.

2. Подобие сохраняет углы между полупрямыми

3. Подобие переводит плоскости в плоскости.

Две фигуры называются подобными, если они переводятся одна в другую преобразованием подобия.

Гомотетия

Гомотетия – простейшее преобразование относительно центра O с коэффициентом гомотетии k. Это преобразование, которое переводит произвольную точку X’ луча OX, такую, что OX’ = k*OX.

Свойство гомотетии: 1. Преобразованием гомотетии переводит любую плоскость, не проходящую через центр гомотетии, в параллельную плоскость (или в себя при k =1).

Доказательство. Действительно, пусть O – центр гомотетии и a - любая плоскость, не проходящая через точку O. Возьмем любую прямую AB в плоскости a. Преобразование гомотетии переводит точку A в точку A’ на луче OA, а точку B в точку B’ на луче OB, причем OA’/OA = k, OB’/OB = k, где k – коэффициент гомотетии. Отсюда следует подобие треугольников AOB и A’OB’. Из подобия треугольников следует равенство соответственных углов OAB и OA’B’, а значит, параллельность прямых AB и A’B’. Возьмем теперь другую прямую AC в плоскости a. Она при гомотетии перейдет а параллельную прямую A’C’. При рассматриваемой гомотетии плоскость aперейдет в плоскость a’, проходящую через прямые A’B’, A’C’. Так как A’B’||AB и A’C’||AC, то по теореме о двух пересекающихся прямых одной плоскости соответственно параллельными с пересекающимися прямыми другой плоскости, плоскости a и a’ параллельны, что и требовалось доказать.

Движение

Движением - преобразование одной фигуры в другую если оно сохраняет расстояние между точками, т.е. переводит любые две точки X и Y одной фигуры в точки X , Y другой фигуры так, что XY = XY

Свойства движения: 1. Точки, лежащие на прямой, при движении переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения. Это значит, что если A, B, C, лежащие на прямой, переходят в точки A₁ ,B₁ ,C₁ . То эти точки также лежат на прямой; если точка B лежит между точками A и C, то точка B₁ лежит между точками A₁ и C_1.

Доказательство. Пусть точка B прямой AC лежит между точками A и C. Докажем, что точки A₁ ,B₁ ,C₁ лежат на одной прямой.

Если точка A₁ ,B₁ ,C₁ не лежат на прямой, то они являются вершинами треугольника. Поэтому A₁ C₁ < A₁ B₁ + B₁ C₁ . По определению движения отсюда следует, что AC<AB+BC. Однако по свойству измерения отрезков AC=AB+BC.

Мы пришли к противоречию. Значит, точка B₁ лежит на прямой A₁ C₁ . Первое утверждение теоремы доказано.

Покажем теперь, что точка B₁ лежит между A₁ и C₁ . Допустим, что точка A₁ лежит между точками B₁ и C₁ . Тогда A₁ B₁ + A₁ C₁ = B₁ C₁ , и, следовательно, AB+AC=BC. Но это противоречит неравенству AB+BC=AC. Таким образом, точка A₁ не может лежать между точками B₁ и C₁ .

Аналогично доказываем, что точка C₁ не может лежать между точками A₁ и B₁ .

Так как из трех точек A₁ ,B₁ ,C₁ одна лежит между двумя другими, то этой точкой может быть только B₁ . Теорема доказана полностью.

2. При движении прямые переходят в прямые, полупрямые – в полупрямые, отрезки – в отрезки

3. При движении сохраняются углы между полупрямыми.

Доказательство. Пусть AB и AC – две полупрямые, исходящие из точки A, не лежащие на оной прямой. При движении эти полупрямые переходят в некоторые полуп

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать