Решение систем линейных алгебраических уравнений 2

Нижегородский Технический Университет

Институт Радиотехники и Информационных Технологий

Кафедра «Прикладная Математика и Информатика»

Отчёт по лабораторной работе №2

Тема: «Решение систем линейных алгебраических уравнений»

Выполнила: Волынкина В.М.

группа 04-ПМ

Проверила: Катаева Л.Ю.

Нижний Новгород

2008

Содержание.

1.Постанoвка задачи №1, метод решения.

2.Постановка задачи №2, метод решения.

3. Реализация на языке С++ задачи №1.

4. Реализация на языке С++ задачи №2.

5. Реализация на языке Fortran задачи №1.

6. Реализация на языке Fortran задачи №2.

7. Реализация в Matlab задачи №1.

8. Реализация в Matlab задачи №2.

9. Вывод.

10.Список литературы.

1.Постановка задачи №1. Метод решения.

Представить реализацию метода простой итерации для решения систем линейных алгебраических уравнений.

Запишем исходную систему уравнений в векторно-матричном виде: Ax=F.

Пусть Е - заданное приближение.

Матрицу А всегда можно привести к виду, когда на диагонали находятся максимальные значения. Только в этом случае итерационный метод применяют.

Приведение матрицы А происходит путём нахождения в строке максимального элемента и перестановки этой строки на место той строки, номер которой совпадает с номером столбца максимального элемента.

Затем из каждого уравнения выражаем хi:

Чтобы запустить итерационный процесс, необходимо задать начальные приближения значений неизвестных: хi(0)=0.

Затем подставим нулевые значения переменных в правые части уравнений. Получим некоторые значения переменных хi: Будем рассматривать их в качестве следующего (первого) приближения хi(1).

Проверим, удовлетворяют ли заданной точности получившиеся значения. Найдём модули разности получившегося приближения и начального: !х(1)-х(0)! Если значения модулей больше заданного приближения, продолжаем итерационный процесс.

На следующем шаге подставляем в правые части формул х(1) приближения, получаем значения х(2) приближений, проверяем модули разности и т.д.

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока все значения х i(k) не станут близкими к xi(k+1), т.е. пока модули разности не станут меньше заданного приближения: !х(к+1)-х(к)!<Е.

2.Постановка задачи №2. Метод решения.

Представить реализацию метода Зейделя для решения систем линейных алгебраических уравнений.

Запишем исходную систему уравнений в векторно-матричном виде: Ax=F.

Пусть Е - заданное приближение.

Приводим матрицу А к виду, когда на диагонали находятся максимальные значения.

(как в методе простой итерации).

Затем из каждого уравнения выражаем хi:

Чтобы запустить итерационный процесс, необходимо задать начальные приближения значений неизвестных: хi(0)=0.

Затем подставим нулевые значения переменных в правую часть первого уравнения, т.е. в формулу для х1. В следующие формулы для хi будем подставлять значения переменных, найденные на этом же шаге. Например: формула

Получившиеся значения переменных будем рассматривать как следующие приближения.

После каждого итерационного шага делаем проверку по принципу, описанному в методе простой итерации.

3. Реализация на языке С++ задачи №1.

#include <iostream>

using namespace std;

int main()

{

int c=0,n,p,z;

float l=0,t=0,E,max,r;

cout<<"kol-vo perem=";

cin>>n;

cout<<n<<endl;

float A[n][n],F[n], x[n],y[n],q[n];

for (int i=0; i<n; i++)

{

for (int j=0;j<n;j++)

{

cout<<"A["<<i<<"]["<<j<<"]=";

cin>>A[i][j];

}

}

for (int i=0;i<n;i++)

{

cout<<"F["<<i<<"]=";

cin>>F[i];

}

cout<<"priblijenie=";

cin>>E;

cout<<E<<endl;

//---------------privedenie matrici--------------------------

for (int i=0;i<n;i++)

{ max=A[i][0];

for (int j=0;j<n;j++)

{

if (max<A[i][j]) {max=A[i][j];p=i,z=j;}

}

if (p!=z) {for (int j=0;j<n;j++) {

q[j]=A[z][j];

A[z][j]=A[p][j];

A[p][j]=q[j];

}

}

}

for (int i=0; i<n; i++)

{

for (int j=0;j<n;j++)

{

cout<<"A["<<i<<"]["<<j<<"]="<<A[i][j]<<" ";

}

}

cout<<"privedena"<<endl;

//------------------------------------------------------------

for (int i=0;i<n;i++) //1 shag

{

x[i]=F[i]/A[i][i];

cout<<"x["<<i<<"]="<<x[i]<<endl;

}

for (int i=0;i<n;i++) {

if (x[i]<E) {c=c+1;}

}

if (c==n) {goto END;}

else c=0;

goto V;

V: for (int i=0;i<n;i++) {y[i]=x[i];}

for (int i=0;i<n;i++)

{