Дифференциальное исчисление функций

Содержание

1. Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного

2. Дифференциальное исчисление функций и его приложение

3. Интегральное исчисление функции одного переменного

1. Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного

1. Вычислить предел:

Решение.

При имеем

Следовательно,

2. Найти асимптоты функции:

Решение.

Очевидно, что функция не определена при .

Отсюда получаем, что

Следовательно, – вертикальная асимптота.

Теперь найдем наклонные асимптоты.

Следовательно, – наклонная асимптота при .

3. Определить глобальные экстремумы: при .

Решение.

Известно, что глобальные экстремумы функции на отрезке достигаются или в критических точках, принадлежащих отрезку, или на концах отрезка. Поэтому сначала находим .

.

А затем находим критические точки.

Теперь найдем значение функции на концах отрезка.

.

Сравниваем значения и получаем:

4. Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции:

Решение.

Сначала находим .

.

Затем находим критические точки.

x	–3	0
–	0	+	0	+
убывает	min	возрастает	возрастает	возрастает

Отсюда следует, что функция

возрастает при ,

убывает при .

Точка – локальный минимум.

5. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции:

Решение

Чтобы найти промежутки выпуклости и точки перегиба, найдем вторую производную функции.

.

.

.

x	–2	1
–	0	–	0	+
вогнутая	перегиб	выпуклая	перегиб	вогнутая

Отсюда следует, что функция

выпуклая при ,

вогнутая при .

Точки , – точки перегиба.

2. Дифференциальное исчисление функций и его приложение»

1. Провести полное исследование свойств и построить эскиз графика функции .

Решение.

1) Область определения функции

.

2) Функция не является четной или нечетной, так как

.

3) Теперь найдем точки пересечения с осями:

а) с о x : , б) с oy .

4) Теперь найдем асимптоты.

а)

А значит, является вертикальной асимптотой.

б) Теперь найдем наклонные асимптоты

Отсюда следует, что

является наклонной асимптотой при .

5) Теперь найдем критические точки

не существует при .

6)

не существует при

x	0	2	4
+	0	–	Не сущ.	–	0	+
–	–	–	Не сущ.	+	+	+
y	возрастает выпуклая	max	убывает выпуклая	не сущ.	убывает вогнутая	min	возрастает вогнутая

Построим эскиз графика функции

2. Найти локальные экстремумы функции

Решение.

Сначала найдем частные производные

Известно, что необходимым условием существования экстремума является равенство нулю частных производных.

То есть мы получили одну критическую точку: . Исследуем ее.

Далее проведем исследование этой точки.

Для чего найдем предварительно частные производные второго порядка

Для точки :

.

Следовательно, точка не является точкой экстремума.

Это означает, что точек экстремума у функции

нет.

3. Определить экстремумы функции , если .

Решение.

Сначала запишем функцию Лагранжа

.

И исследуем ее

(Учитываем, что по условию )

То есть мы получили четыре критические точки.

В силу условия нам подходит только первая .

Исследуем эту точку.

Вычислим частные производные второго порядка:

Отсюда получаем, что

Теперь продифференцируем уравнение связи

.

Для точки

Далее получаем

То есть мы получили отрицательно определенную квадратичную форму.

Следовательно, – точка условного локального максимума.

.

3. Интегральное исчисление функции одного переменного

1–3. Найти неопределенный интеграл

1. .

Решение.

.

2.

Решение.

.

3.

Решение.

.

4. Вычислить

Решение.