Теорема Геделя

РЕФЕРАТ

на тему: «ТЕОРЕМА ГЁДЕЛЯ»

Курт Гёдель

Курт Гёдель – крупнейший специалист по математической логике – родился 28 апреля 1906 г. В Брюнне (ныне г. Брно, Чехия). Окончил Венский университет, где защитил докторскую диссертацию, был доцентом в 1933–1938 гг. После аншлюса эмигрировал в США. С 1940 по 1963 г. Гёдель работал в Принстонском институте высших исследований. Гёдель – почетный доктор Йельского и Гарвардского университетов, член Национальной академии наук США и Американского философского общества.

В 1951 г. Курт Гёдель был удостоен высшей научной награды США – Эйнштейновской премии. В статье, посвященной этому событию, другой крупнейший математик нашего времени Джон фон Нейман писал[1] : «Вклад Курта Гёделя в современную логику поистине монументален. Это – больше, чем просто монумент. Это веха, разделяющая две эпохи… Без всякого преувеличения можно сказать, что работы Гёделя коренным образом изменили сам предмет логики как науки».

Действительно, даже сухой перечень достижений Гёделя в математической логике показывает, что их автор по существу заложил основы целых разделов этой науки: теории моделей (1930 г.; так называемая теорема о полноте узкого исчисления предикатов, показывающая, грубо говоря, достаточность средств «формальной логики» для доказательства всех выражаемых на ее языке истинных предложений), конструктивной логики (1932–1933 гг.; результаты о возможности сведения некоторых классов предложений классической логики к их интуиционистским аналогам, положившие начало систематическому употреблению «погружающих операций», позволяющих осуществлять такое сведение различных логических систем друг другу), формальной арифметики (1932–1933 гг.; результаты о возможности сведения классической арифметики в интуиционистскую, показывающие в некотором смысле непротиворечивость первой относительно второй), теории алгоритмов и рекурсивных функций (1934 г.; определение понятия общерекурсивной функции, сыгравшего решающую роль в установлении алгоритмической неразрешимости ряда важнейших проблем математики, с одной стороны. И в реализации логико-математических задач на электронно-вычислительных машинах – с другой), аксиоматической теории множеств (1938 г.; доказательство относительной непротиворечивости аксиомы выбора и континуум-гипотезы Кантора от аксиом теории множеств, положившее начало серии важнейших результатов об относительной непротиворечивости и независимости теоретико-множественных принципов).

Теорема Гёделя о неполноте

Введение

В 1931 г. В одном из немецких научных журналов появилась сравнительно небольшая статья с довольно устрашающим названием «О формально неразрешимых предложениях Principia Mathematica и родственных систем». Автором ее был двадцатипятилетний математик из Венского университета Курт Гедель, впоследствии работавший в Принстонском институте высших исследований. Работа эта сыграла решающую роль в истории логики и математики. В решении Гарвардского университета о присуждении Гёделю почетной докторской степени (1952) она была охарактеризована как одно из величайших достижений современной логики.

Однако в момент опубликования ни название гёделевской работы. Ни содержание ее ничего не говорили большинству математиков. Упомянутые в ее названии Principia Mathematica – это монументальных трехтомный трактат Альфреда Норта Уайтхеда и Бертрана Рассела, посвященный математической логике и основаниям математики; знакомство с трактатом отнюдь не являлось необходимым условием для успешной работы в большей части разделов математики. Интерес к разбираемым в работе Гёделя вопросам всегда был уделом весьма немногочисленной группы учёных. В то же время рассуждения, приведенные Гёделем в его доказательствах, были для своего времени столь необычными. Что для полного их понимания требовалось исключительное владение предметом и знакомство с литературой, посвященной этим весьма специфическим проблемам.

Первая теорема о неполноте

Первая теорема Гёделя о неполноте , по всей видимости, является наиболее знаменательным результатом в математической логике. Она звучит следующим образом:

Для произвольной непротиворечивой формальной и вычислимой теории, в которой можно доказать базовые арифметические высказывания, может быть построено истинноеарифметическое высказывание, истинность которого не может быть доказана в рамках теории^[1] . Другими словами, любая вполне полезная теория, достаточная для представления арифметики, не может быть одновременно непротиворечивой и полной.

Здесь слово «теория» обозначает «бесконечное множество» высказываний, некоторые из которых полагаются истинными без доказательств (такие высказывания называются аксиомами), а другие (теоремы) могут быть выведены из аксиом, а потому полагаются (доказываются) истинными. Словосочетание «доказуемый в теории» обозначает «выводимый из аксиом и примитивов теории (константных символов алфавита) при помощи стандартной логики (первого порядка)». Теория является непротиворечивой (согласованной), если в ней невозможно доказатьпротиворечивое высказывание. Словосочетание «может быть построено» обозначает, что существует некоторая механическая процедура (алгоритм), которая может построить высказывание на основе аксиом, примитивов и логики первого порядка. «Элементарная арифметика» заключается в наличии операций сложения и умножения над натуральными числами. Результирующее истинное