Полиномы Чебышева

Содержание

Введение

Интерполяция многочленами

Методы интерполяции Лагранжа и Ньютона

Сплайн-аппроксимация

Метод наименьших квадратов

Полиномы Чебышева

Практическое задание

Введение

Допустим, задана функция y (x), это означает, что любому допустимому значению х сопоставлено значение у. Но иногда оказывается, что найти это значение очень трудно. Например, у (х) может быть определено как решение сложной задачи, в которой х играет роль параметра или у (х) измеряется в дорогостоящем эксперименте. В этом случае можно вычислить небольшую таблицу значений функции, но прямое нахождение этой функции при большом числе значений аргумента будет практически невозможно. Функция у (х) может существовать в каких-нибудь физико-технических или математических расчётах, где её необходимо будет многократно вычислять. В этой ситуации удобно заменить функцию у (х) приближённой формулой, то есть подобрать некоторую функцию j (х), которая приближается в некотором смысле к у (х) и просто вычисляется. Затем при всех значениях аргумента полагать, что у (х)" j (х)

Основная часть классического численного анализа основывается на приближении многочленами, потому как с ними легче работать. Однако для большинства целей используются другие классы функций.

Выбрав значимые точки и класс приближающих функций, нам необходимо ещё выбрать одну определённую функцию из этого класса посредством какого-то критерия - некоторой меры приближения или "равенства". До того как начать вычисления, мы должны решить также, какую точность нам надо в ответе и какой критерий мы выбираем для измерения этой точности

Всё изложенное выше можно сформулировать в виде четырёх вопросов:

Какие значимые точки мы будем использовать?

Какой класс приближающих функций будет нами использован?

Какой критерий согласия-"равенства" мы применим?

Какая точность нам необходима?

Существуют три группы функций, которые широко применяемых в численном анализе. Первая группа включает в себя линейные комбинации функций 1, х, х 2, …, х n, что совпадает с классом всех многочленов степени n (или меньше). Второй класс - включает в себя функции cos a i x, sin a i x. Этот класс имеет непосредственное отношение к рядам Фурье и интегралу Фурье. Третья группа образована функциями e - az. Эти функции часто встречаются в реальных ситуациях, к ним, например, часто приводят задачи накопления и распада. Что касается критерия согласия или "равенства", то классическим критерием согласия является "точное совпадение в значимых - узловых точках". Этот критерий обладает преимуществами простоты теории и выполнения вычислений, но он также имеет неудобство из-за игнорирования шума (погрешности, возникающей при измерении или вычислении значений в значимых (узловых) точках). Другой достаточно хороший критерий - есть "наименьшие квадраты". Это означает, что сумма квадратов отклонений в узловых точках должна быть наименьшей возможной или, другими словами, приведена к минимуму. Этот критерий использует неточную информацию, чтобы получить наименьшее количество шума. Третий критерий напрямую связан с именем Чебышева. Основная идея его заключается в том, чтобы привести максимальное отклонение к минимуму. Конечно, могут быть возможны и другие критерии

Более точно ответить на поставленные нами четыре вопроса можно лишь исходя из условий и цели каждой задачи в отдельности.

Интерполяция многочленами

Цель задачи о приближении (интерполяции): данную функцию у (х) необходимо приблизительно заменить некоторой функцией j (х), свойства которой нам известны так, чтобы отклонение в заданной области было минимальным. Интерполяционные формулы применяются, в первую очередь, при замене графически заданной функции аналитической, а также для интерполяции в таблицах

Методы интерполяции Лагранжа и Ньютона

Один из подходов к задаче интерполяции - метод Лагранжа. Идея этого метода является в том, чтобы в первую очередь найти многочлен, который принимает значение 1 в одной узловой точке и 0 во всех остальных. Легко можно увидеть, что функция является требуемым многочленом степени n, который равен 1, если x = x j и 0, когда x = x i, i № j. Многочлен L j (x) Ч y j принимает значения y i в i - й узловой точке и равен 0 во всех других узлах. Из чего следует, что имеется многочлен степени n, проходящий через n +1 точку (x i, y i)

Другой подход - метод Ньютона (метод разделённых разностей). Этим методом можно получить аппроксимирующие значения функции без построения в явном виде аппроксимирующего полинома. В результате чего получаем формулу для полинома P n, аппроксимирующую функцию f (x):

P (x) =P (x 0) + (x-x 0) P (x 0,x 1) + (x-x 0) (x-x 1) P (x 0,x 1,x 2) +…+

(x-x 0) (x-x 1) … (x - x n) P (x 0,x 1,…, x n);

разделённая разность 1-го порядка;

разделённая разность 2-го порядка и т. д

Значения P n (x) в узлах совпадают со значениями f (x)

Фактически формулы Лагранжа и Ньютона порождают один и тот же полином, разница является только в алгоритме его построения

Сплайн-аппроксимация

Ещё один метод аппроксимации - сплайн-аппроксимация - отличается от полиномиальной аппроксимации Лагранжем и Ньютоном. Сплайном называется функция, которая вместе с несколькими производными непрерывна на отрезке [a, b], а на каждом частном интервале этого отрезка [x i, x i +1] в отде

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать