Решение нелинейных уравнений методом простых итераций

Метод простой итерации

Для использования метода итерации исходное нелинейное уравнение f (х ) = 0 заменяется равносильным уравнением

x = j(x ).

(8)

Пусть известно начальное приближение корня х = х ₀ . Подставляя это значение в правую часть уравнения (8), получим новое приближение:

х 1 = j(х 0 ).

Далее, подставляя каждый раз новое значение корня в (8), получаем последовательность значений:

(9)

Геометрически метод итерации может быть пояснен следующим образом. Построим на плоскости хОу графики функций у = х и у = j (х ). Каждый действительный корень уравнения (8) является абсциссой точки пересечения М кривой у = j (х ) с прямой у = х (Рисунок 6, а ).

Рисунок 6.

Отправляясь от некоторой точки А ₀ [x ₀ , j (x ₀ )], строим ломаную А ₀ В ₁ А ₁ В ₂ А ₂ ... (“лестница”), звенья которой попеременно параллельны оси Ох и оси Оу , вершины А ₀ , А ₁ , А ₂ , ... лежат на кривой у= j (х ), а вершины В ₁ , В₂ , В ₃ , …, - на прямой у = х. Общие абсциссы точек А ₁ и В ₁ , А ₂ и В ₂ , ..., очевидно, представляют собой соответственно последовательные приближения х ₁ , х ₂ , ... корня .

Возможен также другой вид ломаной А ₀ В ₁ А ₁ В ₂ А ₂ ... - “спираль” (Рисунок 6, б ). Решение в виде “лестницы” получается, если производная j' (х ) положительна, а решение в виде “спирали”, если j' (х ) отрицательна.

На Рисунке 6, а, б кривая у = j (х ) в окрестности корня - пологая, то есть <1, и процесс итерации сходится. Однако, если рассмотреть случай, где >1, то процесс итерации может быть расходящимся (Рисунок 7).

Рисунок 7.

Поэтому для практического применения метода итерации нужно выяснить достаточные условия сходимости итерационного процесса.

Теорема: Пусть функция j (х ) определена и дифференцируема на отрезке [a, b ], причем все ее значения j (х ) [a , b ].

Тогда, если существует правильная дробь q такая, что

q < 1

при a < x < b, то: 1) процесс итерации

сходится независимо от начального значени я х _{0 I} [a , b ];

2) предельное значение является единственным корнем уравнения х = j (х ) на отрезке [a, b ].

Пример 5. Уравнение

f (x ) = x 3 - x - 1 = 0

(10)

имеет корень x [1, 2], так как f (1) = - 1 < 0 и f (2) = 5 > 0.

Уравнение (10) можно записать в виде

х = х 3 - 1.

(11)

Здесь

j (х ) = х ³ - 1 и j' (х ) = 3х ² ;

поэтому

j' (х ) 3 при 1 х 2

и, следовательно, условия сходимости процесса итерации не выполнены.

Если записать уравнение (10) в виде

(12)

то будем иметь:

.

Отсюда при 1 х 2 и значит, процесс итерации для уравнения (12) быстро сойдется.

Найдем корень x уравнения (10) с точностью до 10^-2 . Вычисляем последовательные приближения х_n с одним запасным знаком по формуле

Найденные значения помещены в Таблицу 1:

Таблица 1

Значения последовательных приближений x_i.

i	0	1	2	3	4
xi	1	1,260	1,312	1,322	1,3243

С точностью до 10^-2 можно положить x = 1,324.

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать