Математическая модель системы в переменных пространства состояний

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СИСТЕМ В ПЕРЕМЕННЫХ ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ

Математическая модель системы в переменных пространства состояний имеет вид

, (2.1.1)

(2.1.2)

где мерный вектор параметров состояний; мерный вектор управляющих воздействий; мерный вектор возмущающих воздействий; l- мерный вектор выходов; А – матрица состояний системы размерности ; В – матрица управлений размерности ; Г – матрица возмущений размерности ; С – матрица выходов размерности ln; D – матрица компенсаций (обходов) размерности lm.

Решение векторного дифференциального уравнения (2.1.1) имеет следующий вид:

, (2.1.3)

где - экспоненциал матрицы А.

Подставляя выражение (2.1.3) в формулу (2.1.2), получаем интегральное уравнение движения системы в переменных «вход – выход».

Рассмотрение движения системы в переменных пространства состояний связано с трудностью решения дифференциальных уравнений n-го порядка, описывающих движение системы в переменных «вход – выход», и с хорошо разработанными методами решения систем дифференциальных уравнений первого порядка.

2.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 2.2.1

Определить переходные процессы в системе

(2.2.1)

, (2.2.2)

под действием ступенчатых воздействий по каналам управления

и возмущения .

Решение

В соответствии с выражениями (2.1.2), (2.1.3) запишем уравнение движения системы в интегральной форме

. (2.2.3)

Учитывая, что u(t)=u*1(t)=u, r(t)=r*1(t)=r и t₀ =0, представим выражение (2.2.3) в виде

. (2.2.4)

Для нахождения экспоненциала матрицы А определим корни характеристического уравнения , то есть

и .

Так как корни различные действительные и матрица А диагональная, то ее экспоненциал равен

. (2.2.5)

Подставляя выражения (2.2.5) в формулу (2.2.4) и последовательно проводя преобразования, получаем

=

.

Следовательно, уравнение движения рассматриваемой системы в переменных «вход – выход» имеет вид:

.

УСТОЙЧИВОСТЬ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ

Устойчивость или неустойчивость линейной многомерной системы (2.1.1) определяется ее свободным движением (), которое характеризуется собственными числами матрицы А, определяемыми из характеристического уравнения

(3.1.1)

Линейная система (2.1.1) устойчива тогда и только тогда, когда все вещественные части собственных (характеристических) чисел λ_j =λ_j (A) (j=1,…,n) имеют неположительные значения, т.е. Reλ_j . Если Reλ_j <0, то система асимптотически устойчива.

Характеристическое уравнение (3.1.1) можно записать в виде

_ ⁿ _ ^{n -1} _n _n 0. (3.1.2)

Условия устойчивости для системы n-го порядка записываются в виде определителей Гурвица, получаемых из квадратной матрицы коэффициентов характеристического уравнения (3.1.2).

.

Для устойчивости линейной системы по критерию Гурвица необходимо и достаточно, чтобы при α₀ >0 были положительными и все n диагональных определителей Гурвица, то есть Δ_I >0 (i=l,...,n). Положительность последнего определителя Гурвица

Δ_n =α_n Δ_{n -1} (3.1.3)

при Δ_{n -1} >0 сводится к положительности свободного члена α_n характеристического уравнения.

3.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 3.2.1

Определить устойчивость и характер свободного движения динамической системы, заданной в пространстве состояний векторными уравнениями

, (3.2.1)

. (3.2.2)

Решение.

Запишем для системы (3.2.1) характеристическое уравнение (3.1.1)

, (3.2.3)

решение которого дает следующие корни:

.

Рассматриваемая динамическая система является устойчивой. Ее свободное движение носит апериодический сходящийся характер, так как вещественные части корней характеристического уравнения отрицательные.

Задача 3.2.2

Определить устойчивость динамической системы, заданной в пространстве состояний векторно-матричными уравнениями

, , (3.2.4)

. (3.2.5)

Решение.

Запишем для системы (3.2.4) характеристическое уравнение (3.1.1)

. (3.2.6)

Раскроем скобки и приведем подобные члены, получим следующее характеристическое уравнение:

. (3.2.7)

Устойчивость системы будем определять на основе алгебраического критерия устойчивости Гурвица, составив для этого по уравнению (3.2.7) матрицу Гурвица

. (3.2.8)

Для устойчивости линейной системы по критерию Гурвица необходимо и достаточно, чтобы при положительности коэффициента при старшей степени (в нашем случае коэффициент при λ³ равен 1) были положительными и все n диагональных определителей Гурвица, то есть Δ_i >0 (i=1,2,3)

, .

В соответствии с вышеизложенным находим, что свободны

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать