Основы математики

Треугольник Паскаля. Его свойства. Бином Дяди Ньютона.

1 C00

1 1 C10 C11

1 2 1 C20 C21 C22

1 3 3 1 C30 C31 C32 C33

1 4 6 4 1 C40 C41 C42 C43 C44

1 5 10 10 5 1 C50 C51 C52 C53 C54 C55

1 6 15 20 15 6 1 C60 C61 C62 C63 C64 C65 C66

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

1. Свойства треугольника Паскаля:

1) В треугольнике Паскаля каждое число кроме крайних единиц равно

сумме двух соседних в предыдущей строке.

2) Сумма чисел n-ой строки равна 2n, где n принадлежит целым чис-

лам.

3) Сумма чисел любой строки в два раза больше суммы чисел в пре-

дыдущей сроке.

4) Числа, равноудаленные от концов любой строки равны между собой.

Сmn=Cmm-n

2. Бином Ньютона.

(a+b) - двучлен (бином)

(a+b)0=1

(a+b)1=a+b

(a+b)2=C20a2 + C21ab + C22b2

и т.д. ;)

Свойства бинома Ньютона:

1) Бином ньютона содержит n+1 слагаемых.

2) Биноминальные коэффициетнты, равноудаленные от концов равны

между собой.

3) Формулу бинома Ньютона можно записать символически:

n

(a + b)n = S Cnk.an-k.bk

k=0

4) Любой член можно выразить формулой: Tk+1=Cnk.an-k.bk

5) Сумма биноминальных коэффициентов равна 2n.

Метод математической индукции.

Некоторое утверждение будет верно при любом n N, если:

1) Оно верно при n=1;

2) Предположим, что оно верно при n=k и докажем, что оно верно

при n=k+1.

Комбинаторика: Размещения и перестановки.

Определение: Группы составленные из каких-либо предметов отличаю-

щихся друг от друга предметами или порядком прелметов называются сое-

динениями.

3 рода соединений:

1) Размещения

2) Перестеновки

3) Сочетания

Дано: (a,b,c) - 3 элемента.

по одному: a, b, c.

по два: ab, bc, ac, ba, cb, ca.

по три: abc, acb, bca, bac, cab, cba.

1). Соединения, которые содержат n-элементов, отличающихся или поряд-

ком или элементом называются размещениями и обозначают: Amn, n,m

------------¬

¦ m! ¦

¦Amn= ------+

¦ (m-n)!¦

L------------

2). Соединения, которые отличаются только только порядком называются

перестановками.

------¬

¦Pm=m!¦

L------

2). Сочетания, которые отличаются по крайней мере одним элементом на-

зываются сочетениями.

--------------¬ Свойства числа сочетний:

¦ m! ¦ 1) Сmn=Cmm-n

¦Сmn= --------+ 2) Cmn+Cmn+1=Cm+1n+1

¦ (m-n)!n!¦ 3) Cm0=1

L-------------- 4) C00=0!=1

Дифференцирование функций.

Производная функции

h=x-a - приращение аргумента

f(a+h) - f(a) - приращение функции

--------------------------------------¬

¦ f(a+h) - f(a) -

¦k=lim ------------- = f'(x) или f'(a)-

¦ h->0 h -

+--------------------------------------

¦f(a+h)-f(a)=(k+a).h-

L--------------------

df = f'(x).dx - дифференциал функции.

Примеры:

1 1/(h+x)-1/x -h/(x(x+h))

1) f(x)=- ; f'(x) = lim ----------- = lim ----------- =

x h->0 h h->0 h

1 1

= lim ------- = ---

x(x+h) h2

| 1

2) (x2)' = 2x; (ax+b)' = a; (? a )' = ---

2?x

(ax2 + bx + c)' = 2ax + b; (x3)' = 3x2

----------------¬

¦(axn)' = n.xn-1¦

L----------------

Техника дифференцирования.

(fg)' = f'g + fg' Угловой коэффициент касательной в данной то-

(f + g) = f' + g' чке равен значению производной в данной точ-

( f )' f'g + fg' ке.

¦ - ¦ = ---------

9 g 0 g2 1) Функция монотонно убывает, там где произ-

водная отрицательна.

(fn)' = nfn-1f 2) Функция монотонно возрастает, там где про-

n| 1 изводная положительна.

? f = -------- 3) Если производная равна нулю или не сущес-

n. n? f твует то в этих точках функция имеет локальные

экстремумы.

4) Чтобы найти экстремумы на данном интервале, то надо найти:

а) Значение функции на краях промежутка;

б) Экстремумы функции на данном промежутке;

в) Сравнить полученные результаты и выбрать нужные.

Дифференцирование тригонометрических функций.

---------------¬ ----------¬

¦ Sin x ¦ ¦ tg x ¦

¦ Lim ----- = 1¦ ¦Lim ---- ¦

¦x->0 x ¦ ¦x->0 x ¦

L--------------- L----------

(Sin x)' = Cos x

(Cos x)' = -Sin x

1 1

(tg x)' = ----- ; (Ctg x)' = -----

Cos2x Sin2x

Спецкурс - " Уравнения и неравенства с параметрами ".

" Исследование квадратного трехчлена "

Теорема 1. ---

--------- ¦ а > 0,

¦ D . 0,

¦ x0 > M, ( a7f(M) > 0,

M < x1 , x2 <=> ¦ f(M) > 0, <=> Б D . 0,

=========== ¦ a < 0, 9 x0 > M.

¦ D . 0,

¦ x0 > M,

¦ f(M) < 0

L--

Теорема 2. ---

---------- ¦ а > 0,

¦ D . 0,

¦ x0 < b, ( a7f(b) > 0,

x1 , x2 < b <=> ¦ f(b) > 0, <=> Б D . 0,

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать