Задачи линейной алгебры

Реферат подготовил учащийся 1КД гр. Сергей Шрам

Министерство науки и образования Украины

ДГМА

Краматорск

2003

При решении различных задач математики очень часто приходится иметь дело с таблицами чисел, называемых матрицами. С помощью матриц удобно решать системы линейных уравнений, выполнять многие операции с векторами, решать различные задачи компьютерной графики и другие инженерные задачи.

Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество п столбцов. Числа т и п называются порядками матрицы. В случае, если т = п, матрица называется квадратной, а число m = n — ее порядком.

В дальнейшем для записи матриц будут применяться либо сдвоенные черточки, либо круглые скобки:

или

Для краткого обозначения матрицы часто будет использоваться либо одна большая латинская буква (например, A), либо символ || a _ij || , а иногда с разъяснением: А = || a _ij || = ( a _ij ), где (i = 1, 2, ..., т, j=1, 2, ..., n).

Числа a _ij , входящие в состав данной матрицы, называются ее элементами. В записи a _ij первый индекс і означает номер строки, а второй индекс j — номер столбца. В случае квадрат-ной матрицы

(1.1)

вводятся понятия главной и побочной диагоналей. Главной диагональю матрицы (1.1) называется диагональ а₁₁ а₁₂ … a_nn идущая из левого верхнего угла этой матрицы в правый нижний ее угол. Побочной диагональю той же матрицы называется диагональ а_n1 а_(n-1)2 … a_1n , идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол.

Основные операции над матрицами и их свойства.

Прежде всего, договоримся считать две матрицы равными, если эти матрицы имеют одинаковые порядки и все их соответствующие элементы совпадают.

Перейдем к определению основных операции над матрицами.

Сложение матриц. Суммой двух матриц A = || a _ij || , где (i = 1, 2, ..., т, j=1, 2, ..., n) и В = || b _ij || , где (i = 1, 2, ..., т, j=1, 2, ..., n) одних и тех же порядков т и п называется матрица С = || c _ij || (і =1,2, ..., т; j = 1, 2, ...., п) тех же порядков т и п, элементы с_ij которой определяются по формуле

, где (i = 1, 2, ..., т, j=1, 2, ..., n) (1.2)

Для обозначения суммы двух матриц используется запись С = А + В. Операция составления суммы матриц называется их сложением. Итак, по определению:

+ =

Из определения суммы матриц, а точнее из формул (1.2) непосредственно вытекает, что операция сложения матриц обладает теми же свойствами, что и операция сложения веществен-ных чисел, а именно:

1) переместительным свойством: А + В = В + А,

2) сочетательным свойством: (A + B) + С = А + (В + С).

Эти свойства позволяют не заботиться о порядке следования слагаемых матриц при сложении двух или большего числа матриц.

Умножение матрицы на число. Произведением матрицы A = || a _ij || , где (i = 1, 2, ..., m, j=1, 2, ..., n) на вещественное число l, называется матрица С = || c _ij || (і =1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., n), элементы которой определяются по формуле:

, где (i = 1, 2, ..., т, j=1, 2, ..., n) (1.3)

Для обозначения произведения матрицыі на число используется запись С = l A или С = А l. Операция составления произведения матрицы на число называется умножением матрицы на это число.

Непосредственно из формулы (1.3) ясно, что умножение матрицы на число обладает следующими свойствами:

1) сочетательным свойством относительно числового множителя: ( l m ) A = l ( m A );

2) распределительным свойством относительно суммы матриц: l (A + B) = l A + l B;

3) распределительным свойством относительно суммы чисел: (l + m) A = l A + m A

Замечание. Разностью двух матриц А и В одинаковых порядков т и п естественно назвать такую матрицу С тех же порядков т и п, которая в сумме с матрицей B дает матрицу A. Для обозначения разности двух матриц используется естественная запись: С = A — В.

Очень легко убедиться в том, что разность С двух матриц А и В может быть получена по правилу С = A + (–1) В.

Произведение матриц или перемножение матриц.

Произведением матрицы A = || a _ij || , где (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n) имеющей порядки, соответственно равные т и n, на матрицу В = || b _ij || , где (i = 1, 2, ..., n , j=1, 2, ..., р), имеющую порядки, соответственно равные n и р, называется матрица С = || c _ij || (і =1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., р), имеющая порядки, соответственно равные т и р элементы которой определя-ются по формуле:

где (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., p) (1.4)

Для обозначения произведения матрицыі А на матрицу В используют запись С = А × В. Операция составления произведения матрицы А на матрицу В называется перемножением этих матриц.

Из сформулированного выше определения вытекает, что матрицу А можно умножить не на всякую матрицу В, необходимо, чтобы число столбцов матрицы А было равно числу строк матрицы В.

Формула (1.4) представляет собой правило составления элементов матрицы С, являющейся произведением матрицы А на матрицу В. Это правило можно сформулировать и словесно: элемент c_{i j} стоящий на пвресечении і-й

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать