Математическая логика и теория алгоритмов

Содержание.

1. Постановка задачи.

2. Построение модели.

3. Описание алгоритма

4. Доказательство правильности алгоритма

5. Блок-схема алгоритма

6. Описание переменных и программа

7. Расчёт вычислительной сложности

8. Тестирование

9. Список литературы

Постановка задачи.

Перечислить все способы расстановки n ферзей на шахматной доске n на n, при которых они не бьют друг друга.

Построение модели.

Очевидно, на каждой из n горизонталей должно стоять по ферзю. Будем называть k-позицией (для k = 0, 1,...,n) произвольную расстановку k ферзей на k нижних горизонталях (ферзи могут бить друг друга). Нарисуем "дерево позиций": его корнем будет единственная 0-позиция, а из каждой k-позиции выходит n стрелок вверх в (k+1)-позиции. Эти n позиций отличаются положением ферзя на (k+1)-ой горизонтали. Будем считать, что расположение их на рисунке соответствует положению этого ферзя: левее та позиция, в которой ферзь расположен левее.

Дерево позиций для n = 2

Данное дерево представлено только для наглядности и простоты представления для n=2.

Среди позиций этого дерева нам надо отобрать те n-позиции, в которых ферзи не бьют друг друга. Программа будет "обходить дерево" и искать их. Чтобы не делать лишней работы, заметим вот что: если в какой-то k-позиции ферзи бьют друг друга, то ставить дальнейших ферзей смысла нет. Поэтому, обнаружив это, мы будем прекращать построение дерева в этом направлении.

Точнее, назовем k-позицию допустимой, если после удаления верхнего ферзя оставшиеся не бьют друг друга. Наша программа будет рассматривать только допустимые позиции.

Описание алгоритма.

Разобьем задачу на две части: (1) обход произвольного дерева и (2) реализацию дерева допустимых позиций.

Сформулируем задачу обхода произвольного дерева. Будем считать, что у нас имеется Робот, который в каждый момент находится в одной из вершин дерева. Он умеет выполнять команды:

вверх_налево (идти по самой левой из выходящих вверх стрелок)

вправо (перейти в соседнюю справа вершину)

вниз (спуститься вниз на один уровень)

вверх_налево

вправо

вниз

и проверки, соответствующие возможности выполнить каждую из команд, называемые "есть_сверху", "есть_справа", "есть_снизу" (последняя истинна всюду, кроме корня). Обратите внимание, что команда "вправо" позволяет перейти лишь к "родному брату", но не к "двоюродному".

Будем считать, что у Робота есть команда "обработать" и что его задача - обработать все листья (вершины, из которых нет стрелок вверх, то есть где условие "есть_сверху" ложно). Для нашей шахматной задачи команде обработать будет соответствовать проверка и печать позиции ферзей.

Доказательство правильности приводимой далее программы использует такие определения. Пусть фиксировано положение Робота в одной из вершин дерева. Тогда все листья дерева разбиваются на три категории: над Роботом, левее Робота и правее Робота. (Путь из корня в лист может проходить через вершину с Роботом, сворачивать влево, не доходя до нее и сворачивать вправо, не доходя до нее.) Через (ОЛ) обозначим условие "обработаны все листья левее Робота", а через (ОЛН) - условие "обработаны все листья левее и над Роботом".

Нам понадобится такая процедура:

procedure вверх_до_упора_и_обработать

{дано: (ОЛ), надо: (ОЛН)}

begin

{инвариант: ОЛ}

while есть_сверху do begin

вверх_налево

end

{ОЛ, Робот в листе}

обработать;

{ОЛН}

end;

Основной алгоритм:

дано: Робот в корне, листья не обработаны

надо: Робот в корне, листья обработаны

{ОЛ}

вверх_до_упора_и_обработать

{инвариант: ОЛН}

while есть_снизу do begin

if есть_справа then begin {ОЛН, есть справа}

вправо;

{ОЛ}

вверх_до_упора_и_обработать;

end else begin

{ОЛН, не есть_справа, есть_снизу}

вниз;

end;

end;

{ОЛН, Робот в корне => все листья обработаны}

Осталось воспользоваться следующими свойствами команд Робота (сверху записаны условия, в которых выполняется команда, снизу - утверждения о результате ее выполнения):

(1) {ОЛ, не есть_сверху} обработать {ОЛН}

(2) {ОЛ} вверх_налево {ОЛ}

(3) {есть_справа, ОЛН} вправо {ОЛ}

(4) {не есть_справа, ОЛН} вниз{ОЛН}

Теперь решим задачу об обходе дерева, если мы хотим, чтобы обрабатывались все вершины (не только листья).

Решение. Пусть x - некоторая вершина. Тогда любая вершина y относится к одной из четырех категорий. Рассмотрим путь из корня в y. Он может:

а) быть частью пути из корня в x (y ниже x);

б) свернуть налево с пути в x (y левее x);

в) пройти через x (y над x);

г)

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать