Решение задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта-Мерсо

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ……………………………………………………………….…………3

ГЛАВА I . РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ СИСТЕМ ДИФФЕРНЕЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ РУНГЕ-КУТТА-МЕРСОНА …………………………………………………………………..………4

1.1. Постановка задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений………….……………..................…...4

1.2. Метод Рунге-Кутта-Мерсона………………………………………….5

1.3. Алгоритм решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта-Мерсона……………….........................................................………..….7

ГЛАВА II. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРЕМЕНТ ………….………...…....8

2.1. Постановка задачи……………………………………………………..8

2.2. Анализ результатов……………………………………………….....…9

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ………………………………………………………………..….10СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ………...……………........................................ ..........11

ПРИЛОЖЕНИЕ .......................................................................................................12

Приложение 1........................................................................................12

Приложение 2........................................................................................16

ВВЕДЕНИЕ

Обыкновенные дифференциальные уравнения широко используются для математического моделирования процессов и явлений в различных областях науки и техники. Множество переходных процессов в радиотехнике, кинетика химических реакций, динамика биологических популяций, движение космических объектов, модели экономического развития исследуются с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений.

Актуальность темы курсовой работы состоит в том, что ОДУ имеют аналитически сложное решение и составление программы, реализируещей численное решение облегчило бы эту задачу.

В курсовой работе решается задача разработки программы поиска решения системы дифференциальных уравнений методам Рунге-Кутта-Мерсона.

Выбор метода решения системы дифференциальных уравнений объясняется тем, что метод Кутта-Мерсона сочетает хорошую точность и высокую скорость.

Цель работы: составить программу для решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта-Мерсона на примере, проверить полученное решение в MathCad и проанализировать результаты.

ГЛАВА I . РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ СИСТЕМ ДИФФЕРНЕЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ РУНГЕ-КУТТА-МЕРСОНА

1.1. Постановка задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Задача Коши заключается в решении систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, представляемых в виде:

(1)

Где j=1N-номер каждой зависимой переменной y_j , x-независимая переменная .

Решение системы (1) при заданных начальных условиях

x = x ₀ ,

y ₁ ( x ₀ )= y ₁₀ ,…, (2)

y ₂ ( x ₀ )= y ₂₀ ,

y_N ( x ₀ )= y_{N 0}

сводиться к нахождению зависимостей (интегральных кривых) y ₁ ( x ),…, y ₂ ( x ), y_N ( x ), проходящих через точки ( x ₀ , y ₁₀ ), ( x ₀ , y ₂₀ ),…, ( x ₀ , y_{N 0} ). Задача Коши сводиться к интегрированию дифференциальных уравнений. Порядок метода численного интегрирования при этом определяется и порядок метода решения.

1.2. Метод Рунге-Кутта-Мерсона

Автоматическое изменение шага в ходе решения систем дифференциальных уравнений необходимо, если решение требуется получить с заданной точностью. При высокой точности (погрешность ) и решении в виде кривых с сильно различающейся крутизной автоматическое изменение шага обеспечивает уменьшение общего числа шагов в несколько раз, резко уменьшается вероятность числовой неустойчивости, даёт более равномерное расположение точек графика кривых (решений) при их выводе на печать. Данный метод обеспечивает приближённую оценку погрешностей на каждом шаге интегрирования. Погрешность интегрирования имеет порядок h ⁵ . Этот метод реализуется следующим алгоритмом: Задаём число уравнений N, погрешность ε= E , начальный шаг интегрирования h = H и начальное значение y₁₀ ,…,y_{N 0} . С помощью пяти циклов с управляющей переменной J=1,2,..,N вычисляем коэффициенты:

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

Находим (в последнем цикле) значение (8):

(8)

И погрешность

(9)

Проверяем выполнения условий

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать