Билеты по геометрии

БИЛЕТ 1

А₁ Какова бы ни была плоскость, существуют точки принадлежащие этой плоскости

и точки, не принадлежащие ей.

А₂ Если две различные плоскости имеют общуюточку, то они пересекаются по прямой.

А₃ Если две различные прямые имеют общуюточку, то ч/з них можно провести плоскость, и притом только одну.

БИЛЕТ 2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

ТЕОРЕМА. Через точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Док-во: проведем ч/з а и М плоскость a, а ч/з М в плоскости a прямую b|| a. Докажем, что b|| a единственна.

Допустим, что существует другая прямая b₂ || a, и проходящая ч/з т.М. Через b₂ и а можно провести плоскость a₂ , которая проходит ч/з М и а, след-но, по Т.14.1(ЧЕРЕЗ ПРЯМ. И ТОЧКУ НЕ ЛЕЖ. НА ЭТОЙ ПРЯМОЙ МОЖНО ПРОВЕСТИ ПЛОСКОСТЬ И ПРИТОМ ТОЛЬКО ОДНУ) она совпадает с a. По аксиоме о параллельных прямых b₂ и а совпадают. Ч.Т.Д.

БИЛЕТ 3

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

ТЕОРЕМА. Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Док-во: Пусть a-плоскость, а - не лежащая в ней прямая и а₁ - прямая в плоскости a,параллельная прямой а.

Проведем плоскость a₁ ч/з прямые а и а₁ .

Она отлична от a, т.к. прямая а не лежит в плоскости a. Плоскости a и a₁ пересекаются по прямой а₁ . Если бы прямая а пересекала плоскость a, то точка пересечения принадлежала бы прямой а₁ . Но это невозможно, т.к. прямые а и а₁ параллельны. Итак, прямая а не пересекает плоскость a, а значит, параллельна плоскости a. Ч.Т.Д.

БИЛЕТ 4

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

ТЕОРЕМА. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Док-во: Рассмотрим две плоскости a и b. В плоскости a лежат пересекающиеся в т.М прямые a и b, а в b - прямые а₁ и b₁ , причем а|| а₁ и b|| b₁ .

Докажем, что плоскоскоти a и b не параллельны. Тогда они перес. по прямой с. Мы получили, что плоскость a проходит ч/з прямую а, параллельную плоскости b, и пересекает плоскость b по прямой с. Отсюда следует, что а|| с.

Но плоскость a проходит также ч/з прямую b, параллельную плоскости b. Поэтому b || с. Таким обр. ч/з т.М проходят две прямые а и b, || с. Но это невозможно, т.к. по теореме о параллельных прямых ч/з т. М проходит только

БИЛЕТ 5

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Для док-ва данного св-ва рассмотрим прямые а и b , по которым параллельные плоскости a и b пересекаются с плоскостью j. Докажем, что а|| b.

Эти прямые лежат в одной плоскости (j) и не пересекаются. В самом деле, если бы прямые а и b пересекались, то пл. a и b имели бы общ. точку, что невозможно, т.к. a||b. Итак, прямые а и b лежат в одной плоскости и не пересекаются, а|| b.

2. V_{пирамиды} = 1/3*S_осн. *H

БИЛЕТ 6

Отрезки параллельных прямых, заключенные м/у параллельными плоскостями, равны.

Для док-ва рассмотрим отрезки АВ и СD двух параллельных прямых, заключенные м/у параллельными плоскостями a и b. Докажем, АВ=СD. Плоскость j, проходящая ч/з параллельные прямые АВ и СD, пересекается с плоскостями a и b по параллельным прямым АС и ВD. Таким образом, в четырехугольнике ABDC противолеж. стор. паралл., т.е. ABDC-параллел-м

Но в пар-ме прот. леж. стороны равны, значит AB=CD.

S_п.п. =2pR(H+R)

БИЛЕТ 7

Сформулируем основные св-ва параллельного проектирования при условии, что проектируемые отрезки и прямые не параллельны прямой L.

1⁰ Проекция прямой есть прямая.

2⁰ Проекция отрезка есть отрезок.

3⁰ Проекции параллельных отрезков - параллельные отрезки или отрезки, принадлеж.

одной прямой.

4⁰ Проекции параллельных отрезков, а также проекцииотрезков, лежащих на одной прямой, пропорциональны самим отрезкам.

Из св-ва 4⁰ следует, что проекция середины отрезка есть середина проекции отрезка.

БИЛЕТ 8

Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

ТЕОРЕМА: Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

БИЛЕТ 9

ТЕОРЕМА: Прямая, проведенная в плоскости ч/з основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной

Док-во: AH - перпенд. к плоскости a, AM - наклонная, а – прямая проведенная в плоск. a ч/з точку M перпенд к проекцииHM наклонной.

Рассмотрим плоск. AM

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать