Преобразование Фурье

Kalmiik-forever

Глава I

Преобразование Фурье.

§1. Класс Шварца.

Преобразование Фурье отображает класс Шварца на себя.

Определение . Следующее множество комплекснозначных функций действительного переменного называется классом Шварца.

.

Класс Шварца иногда называют классом быстро убывающих функций.

Операции обычного сложения и умножения функции на число превращают класс Шварца в линейное векторное пространство:

"j,yÎS(R), a, bÎКвыполнено aj+byÎS(R).

Отметим несколько простых свойств функций из класса Шварца.

1) Если j(x)ÎS(R),то

2) Если j(x)ÎS(R),то j(x) ограничена на R.

3) Еслиj(x)ÎS(R),тоy(x)=xj(x)ÎS.

4) Если j(x)ÎS(R) и P(x) – многочлен, то P(x)j(x)ÎS.

5) Если j(x)ÎS(R),то .

Доказательство. Первые два свойства сразу следуют из неравенств

.

Докажем свойство 3). Во первых, y=xjÎC^∞ (R). Далее,

.

Свойство 4) получается из 3) последовательным применением. В самом деле, если P(x)=a₀ +a₁ x+…+a_n xⁿ , то по свойству 3) имеем xⁱ jÎS(R), потому функция P(x)j(x)=a₀ j+a₁ (xj)+a₂ (x² j)+…+a_n (xⁿ j) принадлежит классу Шварца ввиду его линейности.

Свойство 5) доказывается аналогично свойству 3).

§2. Одномерное преобразование Фурье.

Определение. Функция

(1)

называется преобразованием Фурье функции j(x) и обозначается F[j]. Ясно, что не для всякой функции j(x) интеграл (1) сходится, и потому не для всякой функции определено преобразование Фурье.

Если (интеграл Лебега), то будем говорить, что j принадлежит пространству L₁ (R).

Предложение 1. Преобразование Фурье функции j(x) из L₁ (R) определено и ограничено по модулю на действительной оси.

Доказательство следует из равенства и (1):

Следствие. Преобразование Фурье определено для функций jÎS(R).

Доказательство. Достаточно доказать, что S(R)ÌL₁ (R). Заметим, что если jÎS(R), то по свойству 4) функция (1+x² )jÎS(R) и, следовательно, ограничена, а (1+x² )^-1 ÎL₁ (R). Поэтому функция (1+x² )j(1+x² )^-1 ÎL₁ (R).

§3. Свойства преобразований Фурье функций из S ( R ).

1)

Доказательство получается дифференцированием в (1) под знаком интеграла. Это законно, так как интеграл, полученный после дифференцирования, мажорируется интегралом

сходимость которого вытекает из свойства 3): xj(x)ÎS(R)ÌL₁ (R).

2) Если jÎS(R), то F[j]ÎC^¥ (R).

Так как -ixjÎS, то доказательство немедленно вытекает из 1).

3)

Доказательство. Очевидно

теперь можно интегрировать по частям

Это и доказывает свойство 3).

Предложение 2. Преобразование Фурье функции из класса Шварца есть снова функция из класса Шварца.

Доказательство. Многократно применяя свойства 1) и 3), устанавливаем

По свойствам 4) и 5) класса Шварца функция

лежит в классе Шварца SÌL₁ , и тогда, по предложению пункта 2, функция ограничена некоторой постоянной, которую мы обозначим C_{n , m} . Предложение доказано.

§4. Обратное преобразование Фурье.

Определение . Функция

называется обратным преобразованием Фурье функции j(y) и обозначается F^-1 [j].

Нетрудно проверить, что обратное преобразование Фурье функций из S(R) обладает свойствами, аналогичными прямому:

1)

2)

3)

Докажем, что F^-1 [F[j]]=j для любой функции jÎS. Для этого потребуется

Лемма. Пусть непрерывная функция h(y)ÎL₁ (R) имеет почти всюду ограниченную производную. Пусть

такой набор точек, что на интервалах (y_i ,y_{i +1} ) функция h класса C² , i=1,2,…,n. Тогда для всех x, отличных от y_i , i=1,2,…,n+1, справедливо соотношение

Доказательство. Так как h(y)ÎL₁ , то для всякого e>0 найдется такое А, что

при всех t>0. Заметим, что

(3)

Тогда

Второе слагаемое в (4) заменой z= t(x - y) приводится к виду

и, следовательно, стремится к нулю при в силу сходимости интеграла (3). Для доказательства леммы осталось показать, что первое слагаемое в (4) также стремится .

Введем обозначение

Если h класса C² в окрестности точки x, то из равенства

следует дифференцируемость функции g(y) в точке y = x. Итак, g(y) – кусочно-диференцируемая функция. Интегрируя по частям, устанавливаем

при Лемма доказана.

Предложение 3. F^-1 [F[j]]=j для любого jÎS(R).

Доказательство.

Внутренний интеграл сходится равномерно по yÎ[-n, n], поэтому возможна замена порядка интегрирования.

Теперь утверждение следует из леммы.<

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать