Теоремы Перрона-Фробеніуса та Маркова

Теорем ы Перрона-Фробеніуса та Маркова

В роботі дано елементарне доведення відомих теорем Перрона-Фробеніуса та Маркова для матриць другого порядку. Робота має певну методичну цінність і може бути використана на заняттях шкільних гурків та факультативів

Відомо [[1]-[10]], яку важливу роль відіграють невід’ємні матриці в математичних моделях економіки, біології, теорії ймовірностей тощо.

Одними з основоположних фактів теорії цих матриць є теореми Перрона. Перрона-Фробеніуса та Маркова. Доведення цих теорем в загальному випадку потребує застосування теорем з таких неелментарних розділів математики, як теорія екстремумів функції багатьох змінних, жорданова нормальна форма тощо.

Мета роботи дати елементарне доведення вищезгаданих теорем Перрона, Перрона-Фробеніуса та Маркова для матриць другого проядку, яке цілком доступне і для школярів 9-го класу. Це дозволить, наприклад, на заняттях шкільних математичних гуртків чи факультативів розглянути та проаналізувати змістовні математично-економічні та теоретико-ймовірносні моделі (наприклад, модель Леонтьєва, випадкове блукання на відрізку) з повним доведенням всіх тверджень.

1. Необхідні відомості з теорії матриць.

Матриця розмірів m x n – це прямокутна таблиця чисел з m рядків та n стовпців. Позначається матриця так:

Квадратною матрицею n -го порядку зветься матриця розміром n x n . Важливою числовою характеристикою матриці є її визначник, який позначається detA. Для 2x2 матриці . Матриці А та В однакових розмірів називаються рівними, якщо іх відповідні елементи однакові, що записують так: А=В.

З матрицями можна здійснювати такі операції:

1. Множити на число

Приклад:

2. Додавати матриці однакових розмірів:

Приклад:

3. Множити матриці:

Приклад:

Взагалі, добутком матриці А розмірів m x r та матриці В розмірів r x n називається матриця С розмірів m x n , яка позначається АВ. Елемент c_ij цієї матриці – це сума попарних добутків елементів i -го рядка матриці А та елементів j -го рядка матриці В, а саме:

Якщо А та В квадратні матриці однакового порядку, то їх завжди можна перемножити.

Квадратна матриця порядку n , у якої єлементи , а інші елементи є нулями, називається одиничною матрицією порядку n . Однична матриця має таку властивість: АЕ=ЕА=А, де А – квадратна матриця порядку n , Е – одинична матриця такого ж порядку.

Нехай А – квадратна матриця, тоді матриця А^-1 зветься оберненою до матриці А, якщо

Не в кожної матриці є обернена до неї, а саме А^-1 існує тоді і тільки тоді, коли .

Беспосередньо можна первірити, що для

Визначення: Число l називається власним значенням n x n матриці А, якщо знайдется стовпчик такий, що АХ=lХ. При цьому Х називається власним вектором матриці А, що відповідає власному значенню l.

Якщо власний вектор Х відповідає власному значенню l, то сХ, де с - const, також власний вектор, що відповідає l. Власне значення є коренем характеристичного рівняння . Звідки видно, що не у кожної матриці є власні значення.

Визначення: Матриця А зветься додатною, якщо всі її елементи додатні, це позначається А>0.

Теорема Перрона: Нехай А - додатна матриця, тоді А має додатне власне значення r >0 таке, що:

1. r - відповідає єдиний (з точністю до множення на число) власний вектор.

2. інші власні значення по модулю < r .

3. власний вектор, що відповідає r , можна вибрати додатним (тобто з додатними елементами).

Доведення теореми для 2х2 матриць.

Нехай .

Тоді .

Напишемо характеристичне рівняння для матриці А:

.

Це квадратне рівніння з дискримінантом:

І тому

Тобто твердження теореми 1 і 2 доведені, якщо r =l₁ .

Знайдемо власний вектор , що відповідає власному значенню l₁ з рівності

Тоді

, або

Враховуючи, що

перепишемо систему у вигляді:

Але і тому рівняння системи пропорціональні, а це означає, що одне з них можна відкинути.

Знайдемо x ₁ з першого рівняння системи

Щоб довести, що власний вектор можна вибрати додатним, достатньо перевірити, що ,тому що поклавши отримаємо x ₁ >0.

Враховуючи, що b>0 треба довести, що ,

але це випливає з того, що , бо cb >0.

Таким чином третє твердження доведено, а з ним доведена теорема.

Визначення : Матриця А n-го порядку зветься нерозкладною, якщо однаковим переставленням рядків та стовпців її не можна привести до виду , де А₁ , А₂ - квадратні матриці розмірів k x k та (n -k ) x (n -k ) відповідно. Для 2х2 матриць це означає, що та

Визначення : Матриця А зветься невід’ємною, якщо всі її елементи невід’ємні.

Зауваження : Фробеніус довів, що твердження теореми Перрона залишаються в силі дл

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать