Числовая последовательность

Содержание

• 1Определение
• 2Примеры
• 3Операции над последовательностями
• 4Подпоследовательности
• 4.1Примеры
• 4.2Свойства
• 5Предельная точка последовательности
• 6Предел последовательности
• 7Некоторые виды последовательностей
• 7.1Ограниченные и неограниченные последовательности
• 7.1.1Критерий ограниченности числовой последовательности
• 7.1.2Свойства ограниченных последовательностей
• 7.2Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности
7.2.1Свойства бесконечно малых последовательностей
• 7.3Сходящиеся и расходящиеся последовательности
7.3.1Свойства сходящихся последовательностей
• 7.4Монотонные последовательности
• 7.5Фундаментальные последовательности

Числовая последовательность — это последовательность элементов числового пространства.

Числовые последовательности являются одним из основных объектов рассмотрения в математическом анализе.

Определение

Пусть множество X — это либо множество вещественных чисел , либо множество комплексных чисел . Тогда последовательность элементов множества X называется числовой последовательностью .

Примеры

• Функция является бесконечной последовательностью целых чисел. Начальные отрезки этой последовательности имеют вид .
• Функция является бесконечной последовательностью рациональных чисел. Начальные отрезки этой последовательности имеют вид .
• Функция, сопоставляющая каждому натуральному числу одно из слов «январь», «февраль», «март», «апрель», «май», «июнь», «июль», «август», «сентябрь», «октябрь», «ноябрь», «декабрь» (в порядке их следования здесь) представляет собой последовательность вида . В частности, пятым членом x ₅ этой последовательности является слово «май».

Операции над последовательностями

На множестве всех последовательностей элементов множества X можно определить арифметические и другие операции, если таковые определены на множестве X . Такие операции обычно определяют естественным образом, т. е. поэлементно.

Пусть на множестве X определена N -арная операция f : Тогда для элементов , , …, множества всех последовательностей элементов множества X операция f будет определяться следующим образом:

Суммой числовых последовательностей (x_n ) и (y_n ) называется числовая последовательность (z_n ) такая, что z_n = x_n + y_n .

Разностью числовых последовательностей (x_n ) и (y_n ) называется числовая последовательность (z_n ) такая, что z_n = x_n − y_n .

Произведением числовых последовательностей x_n и y_n называется числовая последовательность (z_n ) такая, что .

Частным числовой последовательности x_n и числовой последовательности y_n , все элементы которой отличным от нуля, называется числовая последовательность . Если в последовательности y_n на позиции всё же имеется нулевой элемент, то результат деления на такую последовательность всё равно может быть определён, как последовательность .

Конечно, арифметические операции могут быть определены не только на множестве числовых последовательностей, но и на любых множествах последовательностей элементов множеств, на которых определены арифметические операции, будь то поля или даже кольца.

Подпоследовательности

Подпоследовательность последовательности (x_n ) — это последовательность , где (k_n ) — возрастающая последовательность элементов множества натуральных чисел.

Иными словами, подпоследовательность получается из последовательности удалением конечного или счётного числа элементов.

Примеры

Последовательность простых чисел является подпоследовательностью последовательности натуральных чисел.

Последовательность натуральных чисел, кратных 12, является подпоследовательностью последовательности чётных натуральных чисел.

Свойства

Всякая последовательность является своей подпоследовательностью.

Для всякой подпоследовательности верно, что .

Подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу, что и исходная последовательность.

Если все подпоследовательности некоторой исходной последовательности сходятся, то их пределы равны.

Любая подпоследовательность бесконечно большой последовательности также является бесконечно большой.

Из любой неограниченной числовой последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.

Из любой числовой последовательности можно выделить либо сходящуюся подпоследовательность, либо бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать