Алгебра Дж. Буля и ее применение в теории и практике информатики

Информация, с которой имеют дело различного рода автома­тизированные информационные системы, обычно называется дан­ными., а сами такие системы — автоматизированными системами обработки данных (АСОД). Различают исходные (входные), про­межуточные и выходные данные.

Данные разбиваются на отдельные составляющие, называ­емые элементарными данными или элементами данных. Употреб­ляются элементы данных различных типов. Тип данных (элемен­тарных) зависит от значений, которые эти данные могут принимать.

В современной безбумажной информатике среди различных типов элементарных данных наиболее употребительными явля­ются целые и вещественные числа, слова (в некотором подалфавите байтового алфавита) и так называемые булевы величины. Первые два типа величин нуждаются в пояснении только в связи с конкретными особенностями их представления в современ­ных ЭВМ.

Прежде всего различают двоичное и двоично-десятичное пред­ставления чисел. В двоичном представлении используется двоич­ная система счисления с фиксированным числом двоичных раз­рядов (чаще всего 32 или, для малых ЭВМ, 16 разрядов, включая разряд для представления знака числа). Если нулем обозначать плюс, а единицей — минус, то 00001010 означает целое число +(2³ +2^l )= + l0, а 10001100— число— (2³ + 2² ) = —12 (для простоты взято 8-разрядное представление). Заметим, что знак числа в машинном представлении часто оказывается удобным ставить не в начале, а в конце числа.

В случае вещественных чисел (а фактически, с учетом огра­ниченной разрядности, дробных двоичных чисел) употребляются две формы представления: с фиксированной и с плавающей за­пятой. В первом случае просто заранее уславливаются о месте нахождения занятой, не указывая ее фактически в коде числа. Например, если условиться, что запятая стоит между 3-м и 4-м разрядами справа, то код 00001010 будет означать число 00001,010= (1 + 0 • 2^-1 + 1 • 2^-2 + 0 • 2^-3 ) = 1,25. Во втором слу­чае код числа разбивается на два кода в соответствии с пред­ставлением числа в виде х = а • ^{2 b} . При этом число а (со зна­ком) называется мантиссой, а число b (со знаком) — характеристи­кой числа х. О положении кода характеристики и мантиссы (вместе с их знаками) в общем коде числа также устанавлива­ются заранее.

Для экономии числа разрядов в характеристикеb ее часто представляют в виде b = ^2k b₁ , гдеk — фиксированная константа (обычно k =2). Вводя еще одну константуm и полагая b = 2^k b₂ —m, можно избежать также использования в коде харак­теристики знака (при малых b₂ > 0 число b отрицательно, а при больших — положительно).

В двоично-десятичном представлении обычные десятичные цифры (а также запятая и знак) кодируются двоичными циф­рами. При этом для экономии места часто используется так на­зываемый упакованный код, когда с помощью одного байта ко­дируется не одна, а две десятичные цифры. Подобное представ­ление позволяет в принципе кодировать числа любой значности. На практике обычно все же ограничивают эту значность, хотяистоль большими пределами, что можно считать их неограни­ченными.

Тип данных «произвольное слово во входном алфавите» не нуждается в специальных пояснениях. Единственное условие — необходимость различать границы отдельных слов. Это достига­ется использованием специальных ограничителей и указателей длины слов.

Тип булева переменная присваивается элементарным данным, способным принимать лишь два значения: «истина» (и) и «ложь» (л). Для представления булевых величин обычно исполь­зуется двоичный алфавит с условием и = 1, p = 0.

Как известно, моделью в математике принято называть любое множество объектов, на которых определены те или иные преди­каты. Под предикатом здесь и далее понимается функция у = f(x_i , ...,x_n ), аргументы (x_i , . .., x_n ) которой принадлежат данному множеству М, а значение (у) может являться либо истиной, либо ложью. Иными словами, предикат представляет собой переменное (зависящее от параметров (Xi, . .., Х n } выска­зывание. Оно описывает некоторое свойство, которым может обладать или не обладать набор элементов (Xi, ...,Xn) множе­ства М.

Число п элементов этого набора может быть любым. При л = 2 возникает особо распространенный тип предиката, который носит наименование бинарного отношения или просто отноше­ния. Наиболее употребительными видами отношений являются отношения равенства (=) и неравенства (¹). Эти отношения естественно вводятся для элементарных данных любого дан­ного типа. Тем самым соответствующий тип данных превращает­ся в модель.

Применительно к числам (целым или вещественным) естест­венным образом вводятся также отношения порядка >, <, >, £ , ³ . Тем самым для соответствующих типов данных определяются более богаты