Степенные ряды

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Степенные ряды

Содержание

1. Определение степенного ряда. Теорема Абеля

2. Свойства степенных рядов

3. Ряды Тейлора, Маклорена для функций

4. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена

5. Приложения степенных рядов

1. Определение степенного ряда. Теорема Абеля

Степенные ряды являются частным случаем функциональных рядов.

Определение 1.1 . Степенным рядом называется функциональный ряд вида .(1.1)

Здесь – постоянные вещественные числа, называемые коэффициентами степенного ряда; а – некоторое постоянное число, х – переменная, принимающая значения из множества действительных чисел.

При степенной ряд (1.1) принимает вид

. (1.2)

Степенной ряд (1.1) называют рядом по степеням разности , ряд (1.2) – рядом по степеням х .

Если переменной х придать какое-либо значение, то степенной ряд (1.1) (или (1.2)) превращается в числовой ряд, который может сходиться или расходиться.

Определение 1.2 . Областью сходимости степенного ряда называется множество тех значений х, при которых степенной ряд сходится.

Ряд (1.1) с помощью подстановки приводится к более простому виду (1.2), поэтому вначале будем рассматривать степенные ряды вида (1.2).

Для нахождения области сходимости степенного ряда важную роль играет следующая теорема.

Теорема 1.1 (Теорема Абеля) :

если степенной ряд (1.2) сходится при , то он абсолютно сходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству ; если же ряд (1.2) расходится при , то он расходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству .

Теорема Абеля дает ясное представление о структуре области сходимости степенного ряда.

Теорема 1.2:

область сходимости степенного ряда (1.2) совпадает с одним из следующих интервалов:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ,

где R – некоторое неотрицательное действительное число или .

Число R называется радиусом сходимости , интервал – интервалом сходимости степенного ряда (1.2).

Если , то интервал сходимости представляет собой всю числовую ось .

Если , то интервал сходимости вырождается в точку .

Замечание: если – интервал сходимости для степенного ряда (1.2), то – интервал сходимости для степенного ряда (1.1).

Из теоремы 1.2 следует, что для практического нахождения области сходимости степенного ряда (1.2) достаточно найти его радиус сходимости R и выяснить вопрос о сходимости этого ряда на концах интервала сходимости , т. е. при и .

Радиус сходимости R степенного ряда можно найти по одной из следующих формул:

формула Даламбера:

;(1.3)

формула Коши:

.(1.4)

Если в формуле Коши , то полагают , если , то полагают .

Пример 1.1. Найти радиус сходимости, интервал сходимости и область сходимости степенного ряда .

Решение

Найдем радиус сходимости данного ряда по формуле

В нашем случае

, .

Тогда .

Следовательно, интервал сходимости данного ряда имеет вид .

Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.

При степенной ряд превращается в числовой ряд

.

который расходится как гармонический ряд.

При степенной ряд превращается в числовой ряд

.

Это – знакочередующийся ряд, члены которого убывают по абсолютной величине и . Следовательно, по признаку Лейбница этот числовой ряд сходится.

Таким образом, промежуток – область сходимости данного степенного ряда.

2. Свойства степенных рядов

Степенной ряд (1.2) представляет собой функцию , определенную в интервале сходимости , т. е.

.

Приведем несколько свойств функции .

Свойство 1. Функция является непрерывной на любом отрезке , принадлежащем интервалу сходимости .

Свойство 2. Функция дифференцируема на интервале , и ее производная может быть найдена почленным дифференцированием ряда (1.2), т. е.

,

для всех .

Свойство 3. Неопределенный интеграл от функции для всех может быть получен почленным интегрированием ряда (1.2), т. е.

для всех .

Следует отметить, что при почленном дифференцировании и интегрировании степенного ряда его радиус сходимости R не меняется, однако его сходимость на концах интервала может измениться.

Приведенные свойства справедливы также и для степенных рядов (1.1).

Пример 2.1. Рассмотрим степенной ряд

.

Область сходимости этого ряда, как показано в примере 1.1, есть промежуток .

Почленно продифференцируем этот ряд:

.(2.1)

По свойству 2 интервал сходимости полученного степенного ряда (2.1) есть интервал .

Исследуем поведение этого ряда на концах интервала сходимости, т. е. при и при .

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать