Решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

КАМСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИНЖЕНЕРНО-ЭКОНОМИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

КАФЕДРА «Прикладной информатики и управления»

Контрольная работа

По дисциплине: «Вычислительная математика»

По теме: «Решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона».

Выполнил: студент (ЦДО)

Шевченко С.Н.

№спец. 230102 (АСОИУ)

Проверил: Обухова Л.Г.

г. Набережные Челны – 2010 г.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение	3
1. ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ	4
2. МЕТОД НЬЮТОНА (МЕТОД КАСАТЕЛЬНЫХ)	7
Заключение	11
Список использованной литературы	12

ВВЕДЕНИЕ

В данной работе необходимо рассмотреть решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона.

Данный метод был описан Исааком Ньютоном в рукописи «Об анализе уравнениями бесконечных рядов», адресованной в 1669 году английскому математику Исааку Барроу, и в работе «Метод флюксий и бесконечные ряды» или «Аналитическая геометрия». В своих работах Ньютон вводит такие понятия, как разложение функции в ряд, бесконечно малые и флюксии (производные в нынешнем понимании). Указанные работы были изданы значительно позднее: первая вышла в свет в 1711 году благодаря Уильяму Джонсону, вторая была издана Джоном Кользоном в 1736 году уже после смерти создателя. Однако описание метода существенно отличалось от его нынешнего изложения: Ньютон применял свой метод исключительно к полиномам. Он вычислял не последовательные приближения , а последовательность полиномов и в результате получал приближённое решение .

1 ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Нелинейным уравнением называется уравнение вида

, (1.1)

где - нелинейная функция вида:

- нелинейная алгебраическая функция (полином или многочлен);

- тригонометрическая, логарифмическая, показательная функция;

- комбинирование этих функций, например .

Решением нелинейного уравнения (1.1) называется такое значение , которое при подстановке в уравнение (1.1) обращает его в тождество.

На практике не всегда удается найти точное решение. В этом случае решения уравнения (1.1) находят с применением приближенных (численных) методов.

Приближенным решением нелинейного уравнения (1.1) называется такое значение , при подстановке которого в уравнение (1.1) последнее будет выполняться с определенной степенью точности.

Нахождение приближенных решений составляет основу численных методов и вычислительной математики. Решение нелинейных уравнений и их систем распадается на два этапа: отделение корней уравнений и уточнение корней нелинейных уравнений.

На первом этапе необходимо исследовать уравнение и выяснить, имеются корни или нет. Если корни имеются, то необходимо определить их количество и затем найти интервалы, в каждом из которых находится только один корень, т.е. отделить корни.

Первый способ отделения корней – графический . Данный метод позволяет определить количество корней на отрезке, но не единственность корня. Если имеет простой аналитический вид, то, исходя из уравнения (1.1), можно построить график функции . Тогда точки пересечения графика функции с осью абсцисс будут являться приближенными значениями корней исходного нелинейного уравнения. Если имеет сложный аналитический вид, то можно представить её в виде разности двух более простых функций . Так как , то выполняется равенство . После построения графиков и задача решения нелинейного уравнения сводится к поиску абсцисс точек пересечения двух графиков, которые и будут являться приближенными значениями корней уравнения (1.1).

Второй способ отделения корней – аналитический . Процесс отделения корней здесь основывается на следующих теоремах:

1) если функция непрерывна на отрезке и на концах отрезка принимает значения разных знаков (т.е. ), то на содержится хотя бы один корень.

2) если функция непрерывна на отрезке , выполняется условие вида и производная сохраняет знак на , то на отрезке имеется единственный корень.

3) если функция является многочленом n -й степени и на концах отрезка принимает значения разных знаков, то на имеется нечетное количество корней. Если на концах отрезка функция меняет знак, то уравнение (1.1) либо не имеет корней на , либо имеет четное количество корней.

При аналитическом методе исследований необходимо выявить интервалы монотонности функции . Для этого необходимо найти критические точки , т.е. точки, в которых первая производная равна нулю или не существует. Тогда вся числовая ось разбивается на интервалы монотонности , на каждом из которых определяется знак производной , где . Затем выделяются те интервалы монотонности , на которых функция меняет знак, то есть выполняется неравенство . На каждом из этих интервалов для поиска корня используются методы уточнения корней.

Одним из наиболее распространенных методов уточнения корня на отрезке является метод Ньютона (метод касательных).

2 МЕТОД НЬЮТОНА (МЕТОД КАСАТЕЛЬНЫХ).

Пусть известно, что нелинейное уравнение имеет на отрезке единст

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать