Матрицы и определители

Дисциплина: Высшая математика

Тема: Матрицы и определители

Понятие матрицы

При изучении вопросов, связанных с действием над векторами, а также при изучении систем линейных уравнений приходится иметь дело с таблицами из чисел, которые называются матрицами.

Определение . Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая строк и столбцов .

Числа и называются порядками матрицы. Если , то матрица называется квадратной. Для обозначения матрицы пользуются либо вертикальными двойными черточками, либо круглыми скобками:

или .

Для краткого обозначения матрицы может быть использована и одна буква, например, . Кроме того, вместо всей таблицы может быть написано: , где ; .

Числа называются элементами матрицы, – номер строки, – номер столбца.

Для квадратной матрицы вводится понятие главной и побочной диагонали: главная диагональ идет из верхнего левого угла в нижний правый; побочная – из верхнего правого в нижний левый.

Ранг матрицы. Эквивалентные матрицы

Дана прямоугольная матрица:

Выделим в этой матрице k произвольных строк и k произвольных столбцов (k Ј m, k Ј n ).

Определение. Определитель k -го порядка, составленный из элементов матрицы A , расположенных на пересечении выделенных строк и столбцов, называется минором k -го порядка матрицы A . Матрица A имеет C ^k _m *C ^k _n миноров k -го порядка.

Определение. Рассмотрим всевозможные миноры матрицы A , отличные от нуля. Рангом матрицы A называется наибольший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Если все элементы матрицы равны нулю, то ранг этой матрицы принимают равным нулю.

Определение. Всякий отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен рангу этой матрицы, называется базисным минором матрицы.

Ранг матрицы A будем обозначать через r (A) . Если r (A) = r( B) , то матрицы A и B называются эквивалентными .

Полезно иметь ввиду, что ранг матрицы не изменяется от элементарных преобразований. Под элементарными преобразованиями понимаются:

1) замена строк столбцами, а столбцов соответствующими строками;

2) перестановка строк матрицы;

3) вычеркивание строки, все элементы которой равны нулю;

4) умножение какой-либо строки на число, отличное от нуля;

5) прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки.

Действия над матрицами

Определение . Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые порядки и все их соответствующие элементы совпадают .

Определение. Суммой двух матриц () и () одинаковых порядков называется матрица () того же порядка, элементы которой равны .

На письме это действие может быть записано так: . Операция сложения обладает, очевидно, обычными свойствами: перестановочным ; сочетательным .

Определение . Произведением матрицы на число называется матрица , элементы которой равны .

Умножение матрицы на число может быть записано: или .

Эта операция обладает следующими свойствами: сочетательным относительно числового множителя ; распределительным относительно суммы матриц ; распределительным относительно суммы чисел .

После первых двух действий необходимо отметить, что вычитание матриц производится аналогично сложению, а деление матрицы на число может быть определено как умножение на обратное число.

Определение . Произведением матрицы (), имеющей порядок , на матрицу (), имеющую порядок , называется матрица (), имеющая порядок , элементы которой равны , где .

Записывается это действие так . Из сказанного выше следует, что для нахождения элемента , в произведении необходимо попарно перемножить все соответствующие элементы -ой строки матрицы на элементы -го столбца матрицы , а затем все это сложить. Из определения также следует, что для умножения двух матриц необходимо, чтобы число столбцов матрицы было равно числу строк матрицы . Отсюда следует, что одновременно произведение и существует только лишь в том случае, когда число столбцов равно числу строк , а число столбцов равно числу строк . В этом случае и будут квадратными матрицами, но разных порядков. Чтобы оба произведения были одинакового порядка, необходимо, чтобы и были квадратными матрицами одинакового порядка.

Произведение матриц имеет свойства: сочетательное ; распределительное . Перестановочным свойством в общем случае произведение матриц не обладает. Оно выполняется лишь в некоторых случаях.

Среди квадратных матриц необходимо выделить важный класс диагональных матриц.

Определение . Диагональной называется квадратная матрица, все элементы которой, расположенные вне главной диагонали, равны 0:

.

В том случае, если , то для любой квадратной матрицы порядка справедливо . Действительно, для получаем . Для – . Отсюда, .

Среди диагональных матриц с равными друг другу элементами особое место занимают две матрицы: единичная и нулевая. У единичной матрицы , обозначается она – , у нулевой , обозначается она – .

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать