Кривые и поверхности второго порядка

ЭЛЛИПС.

Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фик­сированных точек плоскости, называе­мых фокусами, есть постоянная величина; требуется, чтобы эта по­стоянная была больше расстояния между фокусами. Фокусы эллипса при­нято обозначать через F₁ и F_2.

Пусть М —произвольная точка эллипса с фокусами F₁ и F_2. Отрезки F₁ М и F₂ М (так же как и длины этих отрезков) назы­ваются фокальными радиусами точки М. По­стоянную сумму фокаль­ных ра­диусов точки эллипса принято обозначать через 2а. Таким образом, для любой точки М эллипса имеем:

F₁ М + F₂ М = 2а.

Расстояние F₁ и F₂ между фокусами обозначают через 2с. Пусть дан какой-нибудь эллипс с фоку­сами F₁ ,F_2.

Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у. Обозначим, далее, через r₁ иr ₂ расстояния от точки М до фокусов ( r₁ = F₁ М, r ₂ = F₂ М ). Точка М будет нахо­диться на данном эллипсе в том и только в том случае, когда

r₁ + r ₂ = 2а.

Чтобы получить искомое уравнение, нужно в равенстве заменить переменные r₁ иr ₂ их выраже­ниями через координаты х, у.

Заметим, что так как F₁ F₂ = 2с и так как фокусы F₁ и F₂ распо­ложены на оси Ох симметрично от­носительно начала координат, то они имеют соответственно координаты (—с; 0) и (+с; 0); при­няв это во внимание находим:

Заменяя r₁ иr ₂ , получаем:

Это и есть уравнение рассматриваемого эллипса, так как ему удовлетворяют координаты точки

М (х; у), когда точка М лежит на этом эллипсе. Возведёмобе части равенства в квадрат, полу­чим:

или

Возводя в квадрат обе части последнего равенства, найдем:

а² х² — 2а² сх + а² с² + а² у² = а⁴ — 2а² сх + с² х² ,

откуда

(а² —с² )х² + а² у² = а² (а² —с² ).

Здесь мы введем в рассмотрение новую величину

;

а > с, следовательно, а² —с² > 0 и величина b —вещественна.

b² = a ² — c² ,

тогда

b² x² + a² y² = a² b² ,

или

.

Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса.

Уравнение

,

определяющее эллипс в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй степени; таким образом, эллипс есть линия второго порядка.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение рас­стояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси; обозначив эксцентриситет буквой ε, получаем:

.

Так как с <a , то ε < 1, т. е. эксцентриситет каждого эллипса меньше единицы.

Заметим, что c² = a ² — b² ; поэтому

;

отсюда

и

Следовательно, эксцентриситет определяется отношением осей эллипса, а отношение осей, в свою очередь, определяется эксцен­триситетом. Таким образом, эксцентриситет характеризует форму эллипса. Чем ближе эксцентриситет к единице, тем меньше 1— ε² , тем меньше, следова­тельно, отношение ; значит, чем больше эксцентриситет, тем более эллипс вытянут. В случае окружности b=a и ε=0.

Рассмотрим какой-нибудь эллипс и введем декартову прямо­угольную систему координат так, чтобы этот эллипс определялся каноническим уравнением

Предположим, что рассматриваемый эллипс не является окружностью, т. е. что а≠ b и, следова­тельно, ε=0. Предположим еще, что этот эллипс вытянут в направлении оси Ох, т. е. что а >b .

Две прямые, перпендикулярные к большой оси эллипса и рас­положенные симметрично относи­тельно центра на расстоянии от него, называются директрисами эллипса.

Уравнения директрис в выбранной системе координат имеют вид

и .

Первую из них мы условимся называть левой, вторую—правой. Так как для эллипса ε < 1, то . Отсюда следует, что правая директриса расположена правее правой вершины эл­липса; аналогично, левая ди­ректриса расположена левее его левой вершины.

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать