Функции

РЕФЕРАТ

Функции

Понятие функции – одно из важнейших понятий математики. Пусть даны два множества Х и У и каждому элементу х Î Х поставлен в соответствие единственный элемент у Î У, который обозначен через f(х). В этом случае говорят, что на множестве Х задана функция f и пишут:

f : Х ® У.

Например, пусть Х = {а; b; с; d}, У = {a; b; g; d} и функция f:Х ®У определена так:

f(a) = b, f(b) = a, f(c) = f(d) = d.

Наглядно эту функцию можно представить следующим образом: множества Х и У изобразим в виде областей, элементы множеств – в виде точек, а установленное соответствие – в виде стрелок:

Идея функциональной зависимости зародилась в античной математике, но она еще не была явно выражена и не являлась самостоятельным объектом исследования, хотя и был известен широкий круг конкретных систематически изучавшихся функциональных соответствий. В зачаточной форме понятие функции появляется в трудах ученых в средние века, но лишь в работах математиков 17 века, и прежде всего П. Ферма, Р. Декарта, И. Ньютона и Г. Лейбница, это понятие стало оформляться как самостоятельное. Термин «функция» впервые появился у Г. Лейбница. Для задания функции использовались геометрические, аналитические и кинематические концепции, но постепенно стало превалировать представление о функции как о некотором аналитическом выражении. В четкой форме это было сформулировано в 18 веке. И. Бернулли принадлежит определение, что «функцией переменной величины… называется количество, составленное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных». Л. Эйлер, приняв это определение, заменил в нем слово «количество» словами «аналитическое выражение». Несколько позже у Л. Эйлера появился уже и более общий подход к понятию функции как зависимости одной переменной величины от другой. Эта точка зрения получила свое дальнейшее развитие в трудах Ж. Фурье, Н.И. Лобачевского, П. Дирихле, Б. Больцано, О. Коши, где стало выкристаллизовываться представление о функции как о соответствии между двумя числовыми множествами. Так, в 1834 году Н.И. Лобачевский писал: «Общее понятие функции требует, чтобы функцией от х называть число, которое дается для каждого х и вместе с х постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа и выбрать одно из них; или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной». Определение функции как соответствия между двумя произвольными (не обязательно числовыми) множествами в 1887 году было сформулировано Р. Дедекиндом.

Понятие соответствия, а следовательно, и понятие функции иногда сводится к другим понятиям (множеству, отношению или другим теоретико-множественным и логико-математическим концепциям), а иногда принимается за первичное, неопределяемое понятие, поскольку, как это выразил, например, А. Черч: «В конечном счете понятие функции – или какое-либо сходное понятие, например, понятие класса, - приходится считать первоначальным, или неопределимым».

Ниже рассматривается понятие функции, основанное на понятии множества и простейших операций над множествами.

Пусть даны два множества Х и У. Всякое множество f = {(х; у)} упорядоченных пар (х; у), х Î Х, у ÎУ, такое, что для любых пар (х¢; у¢) Îf и (х¢¢; у¢¢) Îf из условия у¢¹у¢¢ следует, что х¢¹ х¢¢, называется функцией, или, что то же самое, отображением из Х в У.

В рассмотренном выше примере функция представляет собой следующее множество упорядоченных пар: f = {(а; b), (b; a), (с; d), (d; d)}. Таким образом, функция есть не что иное, как спецификация подмножества декартова произведения Х У.

Множество всех первых элементов упорядоченных пар (х; у) некоторой функции f называется областью определения этой функции и обозначается Х_f , а множество всех вторых элементов – множеством значений функции, которое обозначается У_f . Если f = {(х; у)} есть функция, то пишут f: Х_f ® У и говорят, что f отображает множество Х_f во множество У. В случае Х = Х_f пишется просто f: Х®У.

Если f: Х®У – функция и (х; у) Îf, то пишут у = f(х), а также f: ху,

х Î Х, у Î У, и говорят, что функция f ставит в соответствие элементу х элемент у или, что тоже самое, элемент у соответствует элементу х . В этом случае говорят также, что элемент у является значением функции f в точке х или образом элемента х при отображении f.

Иногда сама функция f обозначается символом f(х). Обозначение функции f:Х®У и ее значения в точке х Î Х одним и тем же символом f(х) обычно не приводит к недоразумению, так как в каждом конкретном случае, как правило, всегда бывает ясно, о чем именно идет речь. Обозначение f(х) часто оказывается удобнее обозначения f:х у при вычислениях. Например, запись f(х) = х² удобнее и проще использовать при аналитических преобразованиях, чем запись f:х х² .

Вспомним еще, что бинарное отношение из множества Х во множество У мы определили как всякое подмножество декартова произведения Х У. Таким образом, функция f:Х®У – это просто специальный вид бинарных отношений из Х в У, который уд