Численные методы вычисления интегралов

Численные методы вычисления интегралов. Метод Ньютона-Котеса. Метод Гаусса

1. Численные методы вычисления интегралов. Постановка задачи

Решая физические задачи, часто приходится вычислять значения определённых интегралов от функций . Во многих случаях, в виду того, что подлежащий вычислению интеграл не выражается через элементарные функции, прибегают к приближённым численным методам.

Прежде всего, рассмотрим случай, когда - конечный интервал.

В таком случае, как известно, функция является ограниченной, т.е. . В этом случае наиболее часто применяемый численный метод интегрирования состоит в том, что интеграл от заменяется некоторой линейной комбинацией значений в точках :

(1)

Формула (1) называется квадратурной формулой, а коэффициенты - квадратурными коэффициентами или весами, абсциссы - узлами квадратурной формулы.

Методы численного интегрирования классифицируются в зависимости от того, заданы ли значения аргумента через равные промежутки или нет. Так методы Ньютона-Котеса требуют, чтобы значения были заданы с постоянным шагом, а методы Гаусса не налагают такого ограничения. Перейдём к рассмотрению этих методов.

2. Методы Ньютона-Котеса

Пусть различные точки отрезка , служащие узлами интерполяции для некоторой интерполирующей функцию функции . Тогда имеем:

(2)

где - остаточный член. Предположим, что

(3)

причём подобраны так, чтобы все интегралы

(4)

можно вычислить точно. Тогда мы получаем квадратурную формулу

(5)

2.1 Формула трапеций

Частным случаем методов Ньютона-Котеса является квадратурная формула трапеции. Подынтегральную функцию будем интерполировать по формуле Лагранжа, в том случае, когда на каждом отрезке деления принимается линейная интерполяция, а результаты суммируются (рис 1):

Рис. 1.

а) графический вывод:

Определённый интеграл , как известно, задаёт площадь криволинейной трапеции , поэтому, вписав ломаную в дугу кривой , мы получаем, что площадь криволинейной трапеции можно приближённо вычислить как сумму площадей трапеций:

(6)

Между тем, очевидно, что

(7)

Так как, в методах Ньютона-Котеса, , учитывая (6) получаем:

(8)

или, соединяя подобные члены, имеем:

(9)

Формула (9) – называется формулой трапеций.

б) Аналитический вывод:

Выведем формулу трапеции аналитическим способом. Для этого используем интерполяционный многочлен Лагранжа для отрезка , построим многочлен первой степени, который на концах отрезка принимает заданные значения . Ясно, что в таком случае интерполирующая функция имеет вид:

(10)

т.к. в методе Ньютона-Котеса , учитывая (3) и (4), из (10) получаем:

(11)

Аналогично, , т.е.

(12)

Таким образом, получаем формулу:

(13)

тогда, используя свойство аддитивности оператора интегрирования, имеем:

(14)

где . Получили формулу (14) трапеций, которая естественно, совпадает с (9).

2.2 Формула Симпсона

Рассмотрим метод Ньютона-Котеса (т.е. ), в случае интерполяции подинтегральной функции квадратичными функциями на каждом интервале деления. В данном случае мы имеем дело с параболическим интерполированием, поэтому на каждом интервале , необходимо знание значения функции в трёх точках (т.к. имеет 3 неизвестных параметра – коэффициенты ). В качестве третьей точки на каждом отрезке - выбирается середина этого отрезка, т.е. точка .

Вывод формулы Симпсона будем производить аналитически. Как и в предыдущем случае применяем интерполяционный многочлен Лагранжа, для интерполирования функции , на отрезке , при чём считаем, что нам известны значения . Тогда, очевидно, что многочлен Лагранжа имеет вид квадратичной функции:

(15)

Интегрируя (15) на отрезке будем иметь формулу:

(16)

используя свойство аддитивности интеграла, получаем:

(17)

где является четным числом (- число делений отрезка ,т.е. число равных отрезков разбиения).

Формула (17)-называется формулой Симпсона .

Приняв обозначения , получаем привычный вид квадратурных формул:

а) Формула трапеций:

(18)

б) Формула парабол (Симпсона) (при )

(19)

2.3 Метод Ромберга

Пусть промежуток интегрирования разбит на равных частей и для этого разбиения по формуле трапеции получено значение . Значение - совпадает со значением вычисляемого интеграла, если интегрируемая функция линейна, т.е. является многочленом первой степени. По формуле:

(20)

называемой формулой Ромберга , построим - схему:

(21)

Оказывается, что для интегрируемых по Риману функций, все столбцы и строки - схемы сходятся к исходному значению интеграла.

Пример : Выписать явные формулы для фрагмента - схемы:

Решение :

Пусть Тогда

3. Квадратурные формулы Гаусса